¿Qué es el "Principio de permanencia"?

Question

Mientras leía el libro "El sistema numérico del álgebra (2ª edición)". (Henry Fine, 1890, 1907 2ª ed.) se me ocurrió el término "Principio de permanencia". Recuerdo que lo había leído en el libro "Álgebra inicial para estudiantes universitarios". (Lowenstein, 1953). No dispongo del ejemplar del libro mencionado más adelante. En la página-74 del libro "Beginning algebra for college students" el autor escribe:

"Este principio establece que empleamos normas en circunstancias más generales de lo que justifican los casos especiales en los que las normas se derivaron y tienen validez".

Ce site ${}{}$ La afirmación me parece bien a partir del contexto restante del libro "Beginning algebra for college students". En el libro de Fine parece tener el mismo significado, pero no se da ninguna definición de ese término.
Busqué un poco en Google y me sorprendí, porque encontré un significado totalmente distinto del término "Principio de permanencia", por ejemplo aquí y en wikipedea . "Principio de permanencia" se define algo relacionado con las funciones complejas.

• ¿Podrían explicarme qué es realmente el "Principio de permanencia"?
• Quiero algunas referencias relacionadas con este término.
• También quiero estudiar la perspectiva histórica de este término y quiere saber cómo y por qué tiene dos definiciones diferentes.

P.D: He hecho otra pregunta similar en https://hsm.stackexchange.com/ porque creo que ahí podría encontrar la respuesta al último punto. Esta es la pregunta: https://hsm.stackexchange.com/q/606/141

Answer 1

El principio de permanencia se observa mejor como la luz que guía (a menudo no mencionada) cuando se amplía el ámbito del "número".

Comenzamos con $\mathbb N$ y suma y multiplicación y observar que se cumplen ciertas reglas. Entre ellas están la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación, la ley distributiva, la cancelación (es decir. $a+b=a+c$ implica $b=c$ y también $ab=ac$ implica $b=c$ ) etc.

Por desgracia, no siempre podemos resolver $a+x=b$ mientras trabajemos sólo en $\mathbb N$ y por lo tanto construir una ampliación $\mathbb Z$ para tratar estos casos. (Digo construir, porque los elementos de $\mathbb N$ se dan "naturalmente" como tamaños de rebaños de ovejas y similares, pero los números negativos no; para relacionar los números negativos con la vida cotidiana recurrimos a las deudas y conceptos abstractos similares). Además defina una suma y una multiplicación en $\mathbb Z$ de forma más o menos sencilla (aunque los alumnos se pregunten a menudo por qué $(-1)\cdot(-1)$ es $+1$ ), es decir, no sólo para que la restricción a $\mathbb N\subset\mathbb Z$ es la buena suma/multiplicación de siempre, pero también para que (casi) todas las leyes conocidas se cumplan: La suma y la multiplicación siguen siendo asociativas, conmutativas y distributivas, y la cancelación se mantiene para la suma. Pero la ley de cancelación de la multiplicación se ve afectada: $ab=ac$ no tiene por qué implicar $b=c$ sólo lo hace si $a\ne 0$ . Utilizar la ley de cancelación sería un abuso - y se esconde detrás de muchas divertidas pseudopruebas que $1=2$ .

Lo mismo ocurre en los niveles superiores de la jerarquía del sistema numérico $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ : Construimos conjuntos de números más grandes para resolver más problemas intentando conservar la mayoría de las leyes básicas, pero siempre sacrificando algo. Por ejemplo, en el último paso a los números complejos sacrificamos el orden lineal. Y hay más extensiones en las que empezamos a sacrificar realmente cosas importantes como la conmutatividad de la multiplicación o incluso la asociatividad ...

Al final, el principio de permanencia es la luz que nos guía para responder a preguntas como "¿Por qué no definimos $\frac10$ ser $\infty$ (o $0$ ou $42$ ou $\mathbb R$ o ...)?" - "Porque tendríamos que sacrificar la permanencia de ciertas reglas queridas que son 'más importantes' que la capacidad de dividir por lo que queramos".

Answer 2

El "Principio" se remonta al álgebra del siglo XIX, con Hermann Hankel (véase : Vorlesungen (1867), página 10 : "Princip der Permanenz formaler Gesetze") y George Peacock :

El principio aquí indicado mediante ejemplos fue denominado por Peacock "principio de la permanencia de las formas equivalentes", y en la página 59 de la Álgebra simbólica así se enuncia:

"Cualesquiera formas algebraicas que sean equivalentes cuando los símbolos son generales en la forma, pero específicos en el valor, serán equivalentes igualmente cuando los símbolos sean generales tanto en el valor como en la forma."

Por ejemplo $a,b,c,d$ denotan cualquier número entero, pero sujeto a las restricciones de que $b$ es inferior a $a$ y $d$ menos de $c$ se puede demostrar aritméticamente que $(a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc$ . El principio de Peacock dice que la forma del lado izquierdo es equivalente a la forma del lado derecho, no sólo cuando se eliminan las mencionadas restricciones de ser menor, sino cuando $a,b,c,d$ denotan el símbolo algebraico más general. Significa que $a,b,c,d$ pueden ser fracciones racionales, o surds, o cantidades imaginarias, o de hecho operadores como $d/dx$ . La equivalencia no se establece mediante la naturaleza de la cantidad se supone que la equivalencia es cierta y, a continuación, se intenta encontrar las diferentes interpretaciones que pueden darse al símbolo.

Comparar con Henry Fine , El sistema numérico del álgebra tratado teórica e históricamente (2ª ed. 1903), página 12 :

Por la asunción de la permanencia de la forma de la ecuación numérica en la que resultó la definición de la resta, uno se pone así inmediatamente en posesión de una simbólico definición de resta que es general.

A grandes rasgos, una vez demostrado que una ley en "forma simbólica" es válida para un determinado tipo de valores (por ejemplo, los números enteros), debemos "generalizarla" a otros tipos (por ejemplo, los números racionales), siempre que estén sujetos a las "leyes fundamentales" (en el libro de Fine: I-V y VII; en términos modernos: las axiomas ).

Answer 3

El principio de permanencia mencionado en wiki no es el mismo que el principio heurístico mencionado en "álgebra inicial para estudiantes universitarios", pero están relacionados a través de la noción de analticidad de funciones complejas. El principio que has encontrado en wiki está relacionado con el hecho de que una función analítica compleja que tiene un cero de orden infinito desaparece necesariamente de forma idéntica.

Mientras tanto, el principio heurístico parece ser una reformulación de técnicas fructíferas (aunque no siempre rigurosas) empleadas a menudo en el siglo XVIII por grandes como Euler a veces también denominada generalidad del álgebra . También está relacionada con la de Leibniz ley de continuidad .

Answer 4

No es bien sabido que el principio de permanencia casi nos obliga a la definición habitual de exponenciación compleja. Esto se demuestra aquí

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS_peacocks_principle.pdf

Answer 5

El principio de permanencia es la idea de que a medida que extendemos los números naturales a los enteros, luego a los racionales, etc., se conservan las propiedades originales de los números naturales y su aritmética.

Tobias Dantzig, en su obra de referencia Número: El lenguaje de la ciencia (pp. 94-95) formula el principio como una definición:

Una colección de símbolos infinita en número se llamará campo numérico y cada uno de sus elementos a número ,

Primero: Si entre los elementos de la colección podemos identificar la secuencia de números naturales .

Segundo: Si podemos establecer criterios de rango que nos permitan decir de dos elementos cualesquiera si son iguales, o si no son iguales, cuál es mayor; reduciéndose estos criterios a los criterios naturales cuando los dos elementos son natural números.

Tercero: Si para dos elementos cualesquiera de la colección podemos idear un esquema de adición y multiplicación que tendrá las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de las operaciones naturales que llevan estos nombres, y que se reducirá a estas operaciones naturales cuando los dos elementos sean números naturales.