Resolver la ecuación funcional $(x+1)f\left(\frac{y}{f(x)}\right)=f(x+y)$

Question

Resuelve la ecuación funcional:

Encontrar todas las funciones estrictamente monótonas $f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$ tal que $$(x+1)f\left(\frac{y}{f(x)}\right)=f(x+y),\forall x,y>0\text.$$

Answer 1

Tome el límite de ambos lados de la ecuación funcional como $y\to 0$ de la derecha:

$$\lim_{y\to 0^+}(x+1)f\left(\dfrac{y}{f(x)}\right)=\lim_{y\to 0^+}f(x+y).$$

En el lado derecho, el límite es claramente $\lim_{y\to 0^+}f(x+y)=f(x)$ . El límite en el LHS se reduciría simplemente a $\lim_{y\to 0^+}(x+1)f\left(\dfrac{y}{f(x)}\right)=(x+1)f(0)$ si $0$ estaba en el dominio de $f$ pero aunque no lo sea podemos escribir $\lim_{y\to 0^+}(x+1)f\left(\dfrac{y}{f(x)}\right)=(x+1)\lim_{y\to 0^+}f(y)=(x+1)f_{0^+}$ . Así, $f$ es de la forma: $f(x)=a(x+1)$ .

Sustituya esta función de prueba en la ecuación funcional para encontrar los valores permitidos del parámetro $a$ :

$$(x+1)a\left(\frac{y}{a(x+1)}+1\right)=a(x+y+1)\\ \iff y+a(x+1)=a(x+1)+ay\\ \iff y=ay\\ \iff a=1.$$

Por lo tanto, la única solución es $f(x)=x+1$ .

Answer 2

Esto es algo que falta en la respuesta de David. (Que me parece muy inteligente)
Primero tenemos que demostrar que $f_{0^+}$ es un número real. (Comprueba la línea 5 en la respuesta de David)

Primero tenemos que demostrar que $f$ es estrictamente creciente.
Sustituir $x=1,y=f(1)$ en la ecuación. (Ambos son positivos, así que no tenemos ningún problema)

Tenemos $$2\cdot f(1)=f(1+f(1))\Rightarrow f(1)=\frac{f(1+f(1))}{2}<f(1+f(1))$$ desde $f(1+f(1))>0$ .

Pero $1<1+f(1)$ y $f(1)<f(1+f(1))$
Sabiendo que $f$ es estrictamente monótona, vemos que $f$ es estrictamente creciente y como su dominio es $(0,+\infty)$ :
$$\lim_{y \to 0^{+}}f(y)=f_{0^+}\in \mathbb R$$ Combinando esto y el enfoque de David obtenemos el resultado deseado.