¿Por qué es el gradiente de acotamiento suficiente para $u_n \to u$$W^{1,p}$?

Question

Este es un comentario de Brezis libro de ch. 9 (pag. 264).

Deje $\Omega \subset \mathbb R^N$ un conjunto abierto y $(u_n)_n$ una secuencia en $W^{1,p}(\Omega)$ tal que $u_n \to u$$L^p(\Omega)$. Si $\nabla u_n$ converge a algún límite en $L^p(\Omega)^N$ $u_n \a u$ in $W^{1,p}$. If $p \in [1,+\infty)$ basta con saber sólo que $u_n \to u$ $L^p(\Omega)$ y $(\nabla u_n)$ está delimitado en $L^p(\Omega)^N$, es decir no existe $C>0$ s. t. $$ \Vert \nabla u_n \Vert_{L^p} \le C $$ in order to conclude that $u_n \a u$ en $W^{1,p}$.

¿Por qué es esto cierto? He pensado para Banach teorema de Alaoglu: desde $p\ne 1$ I puede considerar en $L^p$ a los débiles-$\star$ topología; luego, debido a la compacidad de la (unidad), bola, a partir de la secuencia delimitada $(\nabla u_n)$ que se puede extraer convergente larga. Pero no estoy seguro de lo que estoy haciendo y necesito su ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

La primera cosa a tener en cuenta aquí es que Brezis no a la conclusión de $u_n\to u$$W^{1,p}(\Omega)$. De hecho, la única cosa que concluye es $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Permítanme decir como él:

Deje $1<p\leq\infty$ y supongamos que $u_n\to u$ $L^p(\Omega)$ $\nabla u_n$ está delimitado en $L^p(\Omega)^N$. A continuación,$u\in W^{1,p}(\Omega)$.

Para probar esto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que no existe $v\in L^p(\Omega)^N$ tal que $\nabla u_n\to v$ débilmente en $L^p(\Omega)^N$, pero entonces podemos concluir que $v=\nabla u$. He probado la última afirmación aquí, en algún lugar, voy a tratar de encontrarlo y enlace aquí, o si quieres, puedes echar un vistazo en el Teorema 1.30 de Heinonen.

Comentario: he encontrado la prueba.

Answer 2

Esta observación parece ser buggy.

Tomar cualquier secuencia $u_n$ que converge hacia la $u$ débilmente en $W^{1,p}(\Omega)$. Por Rellich del teorema de la convergencia es fuerte en $L^p(\Omega)$. Por el principio de acotamiento uniforme, sabemos que $u_n$ está delimitado en $W^{1,p}(\Omega)$, por lo tanto, $\nabla u_n$ está delimitado en $L^p(\Omega)^N$. Ahora, la observación implica que $u_n$ converge fuertemente en $W^{1,p}(\Omega)$. Ciertamente, esto no es cierto.