Encuentre todos $\alpha$ tal que $n^\alpha\chi_{[n,n+1]}$ converge débilmente a 0 en $L^p$ .

Question

Editar: $1 < p < \infty$

Dejemos que $f_n(x) = n^\alpha \chi_{[n,n+1]}.$ Entonces $$ \begin{align} \left|\int_{-\infty}^{\infty} n^\alpha \chi_{[n,n+1]}g(x)dx\right| &\le n^\alpha \lvert\lvert\chi_{[n,n+1]}g(x)\rvert\rvert_1\\ &\le n^\alpha \lvert\lvert\chi_{[n,n+1]}\rvert\rvert_p \lvert\lvert g(x)\rvert\rvert_q\\ &= n^\alpha \lvert\lvert g(x)\rvert\rvert_q \end{align} $$ que pasa a 0 si $\alpha < 0$ . Supongamos que $\alpha \ge 0$ y que $g(x) = \chi_{[n,n+1]}$ . Entonces $g\in L^q$ y $$\left|\int_{-\infty}^{\infty} n^\alpha \chi_{[n,n+1]}g(x)dx\right| = n^\alpha \to \infty.$$

¿Me he perdido algo aquí? Gracias.

Answer 1

Sugerencias, asumiendo $1<p<\infty$ (la respuesta es ligeramente diferente para los casos de los extremos):

En primer lugar, si $f_n\to0$ débilmente en $L^p$ entonces $||f_n||_p$ está acotado (por el Principio de Acotamiento Uniforme). En segundo lugar, si $g\in L^q$ entonces $\sum\int_n^{n+1}|g|^q<\infty$ Por lo tanto $\int_n^{n+1}|g|^q\to0$ .

Answer 2

El caso $\alpha < 0$ está bien.

El siguiente cálculo también está bien, pero no la conclusión (como señala la silla Arctic). Sin embargo, si usted reemplaza su $g$ por $g_n$ y observar que $g_n$ tiene norma constante en $L^q$ se encuentra que la norma de $f_n$ tiene que ser ilimitado en $L^p$ si $\alpha > 0$ (nota que $n^\alpha \equiv 1$ para $\alpha = 0$ ).

Para $\alpha = 0$ necesitas un tratamiento diferente.