Probar que cada infinita de espacio métrico $(X, d)$ contiene un subconjunto infinito $A$ tal que $(A, d)$ es discreto.

Question

Un espacio métrico $X$ dijo ser discreto si cada punto es aislado.

Un punto de $x ∈ A ⊂ X$ es un punto aislado de a $A$ si alguna bola abierta centrada en $x$ contiene ninguno de los miembros de $A$ otros de $x$ sí.

Estoy teniendo problemas con probar la siguiente declaración:

Cada infinita de espacio métrico $(X, d)$ contiene un subconjunto infinito $A$ tal que $(A, d)$ es discreto.

He pasado algún tiempo en este problema. Estoy pensando que un constructiva de la prueba puede ser imposible. Pero incluso si traté de prueba por contradicción, todavía no consigue mucho progreso. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos $X$ no es discretos (de lo contrario usted ya está hecho).

Entonces no es $a\in X$ que no es un punto aislado; por lo tanto, para cada $n>0$, hay un punto de $x_n\in X$, $x_n\ne a$, tal que $d(x_n,a)<1/n$.

(No es difícil construir la secuencia de modo que, para cada $m$, $x_1,x_2,\dots,x_m$ son pares distintos, pero no es realmente necesario.)

Consideremos el conjunto a $A=\{x_n:n>0\}$. A continuación, $A$ es infinito y no tiene ningún punto límite, porque...

Answer 2

Split $X$ en countably muchos no vacío distintos conjuntos de $X_{1}, X_{2}, \dots$. Por el axioma de elección, el conjunto $\{ \xi \mid\ \forall n \in \mathbb{N}, \exists !\ \xi' \in X_{n}\ \text{s.t.}\ \xi = \xi' \}$ existe. Deje $a_{1} \in X_{1}$ tal que $d(a_{1}, X_{2}) > 0$; deje $a_{n} \in X_{n}$ tal que $d(a_{n}, X_{n-1}), d(a_{n}, X_{n+1}) > 0$ para todos los enteros $n \geq 2$. Entonces el conjunto $\{ a_{n} \mid n \in \mathbb{N} \}$$\subset X$, infinito, y discreto.