5 votos

Probar que cada infinita de espacio métrico (X,d) contiene un subconjunto infinito A tal que (A,d) es discreto.

Un espacio métrico X dijo ser discreto si cada punto es aislado.

Un punto de xAX es un punto aislado de a A si alguna bola abierta centrada en x contiene ninguno de los miembros de A otros de x sí.

Estoy teniendo problemas con probar la siguiente declaración:

Cada infinita de espacio métrico (X,d) contiene un subconjunto infinito A tal que (A,d) es discreto.

He pasado algún tiempo en este problema. Estoy pensando que un constructiva de la prueba puede ser imposible. Pero incluso si traté de prueba por contradicción, todavía no consigue mucho progreso. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias.

3voto

egreg Puntos 64348

Supongamos X no es discretos (de lo contrario usted ya está hecho).

Entonces no es aX que no es un punto aislado; por lo tanto, para cada n>0, hay un punto de xnX, xna, tal que d(xn,a)<1/n.

(No es difícil construir la secuencia de modo que, para cada m, x1,x2,,xm son pares distintos, pero no es realmente necesario.)

Consideremos el conjunto a A={xn:n>0}. A continuación, A es infinito y no tiene ningún punto límite, porque...

2voto

idlefingers Puntos 15957

Split X en countably muchos no vacío distintos conjuntos de X1,X2,. Por el axioma de elección, el conjunto {ξ nN,! ξXn s.t. ξ=ξ} existe. Deje a1X1 tal que d(a1,X2)>0; deje anXn tal que d(an,Xn1),d(an,Xn+1)>0 para todos los enteros n2. Entonces el conjunto {annN}X, infinito, y discreto.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X