Sé que la siguiente ecuación diferencial: $$x^2\frac{d^2y(x)}{dx^2}+x\frac{dy(x)}{dx}+(x^2-\alpha^2)y(x)$$ tiene la solución: $$y(x)=C_1\cdot J_\alpha(x)+C_2\cdot Y_\alpha(x)$$ En mi caso, la ecuación diferencial es de la misma forma, pero el parámetro de $\alpha$ es una variable aleatoria tener una distribución Gaussiana con cero de la media y la varianza $\sigma$. Tengo problemas para encontrar la distribución de la solución en $y(x)$. Alguien puede darme una pista? Gracias.
Respuesta
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El enfoque más sencillo es utilizar la siguiente fórmula integral de una función de Bessel (acabo de considerar $J_\alpha$ pero para $Y_\alpha$ el argumento es muy similar) $$ J_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-i\alpha\tau+ix\sin\tau}d\tau. $$ De esto podemos obtener la siguiente correlators $$ \langle J_\alpha(x)\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-\sigma_\alpha^2\tau^2+ix\sin\tau}d\tau $$ ser $\sigma_\alpha$ de la varianza. Del mismo modo, usted tendrá $$ \langle J_\alpha(x)J_\alpha(y)\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi d\tau\int_{-\pi}^\pi d\tau' e^{-\sigma_\alpha^2(\tau+\tau')^2+ix\sin\tau'+iy\sin\tau} $$ y así sucesivamente. Tenga en cuenta que este integrales de levas ser evaluado de manera muy fácil en el límite de $x,\ y\rightarrow\infty$ lo contrario ellos no tienen una forma cerrada.
