¿Fórmulas explícitas para las raíces primitivas?

Question

Para un primo de Fermat o un primo "superior" de Sophie Germain se conoce explícitamente una raíz primitiva. ¿Existen otros resultados cuando se conoce la factorización de p-1? ¿Es poco probable que lleguemos a obtener fórmulas explícitas para clases más amplias de primos, no sólo para estos casos tan especiales?

Answer 1

Sí, existe una fórmula explícita, dada por Horst Bergmann en "Über eine Formel für primitive Raíces de congruencia" (Elementos de matemáticas, 1983).

Para cada primo impar p:

$w = \sum_{r = 2}^{p-1} r P(r) \prod_{s = 1}^{r-1}(1 - P(s))$ con $P(t) = \prod_{m = 1}^{p-2}(t^m - 1)$

Funciona, y aunque no es muy útil para el cálculo, me sigue pareciendo muy extraño que este sorprendente resultado parezca estar casi olvidado (por ejemplo, no se menciona en Wikipedia o Mathworld)