"Enderezar el límite" en PDE

Question

En el capítulo 3 del texto de Evans sobre las EDP, estamos interesados en resolver las EDP no lineales de primer orden de la forma $$F(Du, u, x) = 0 \text{ in } U \\ u = g \text{ on } \Gamma$$

En la sección en la que se discute la construcción de soluciones locales a través del método de las características, se da como primer paso "enderezar la frontera" encontrando un mapeo suave $\Phi$ que endereza $\partial U$ cerca de algún punto $x^0 \in \partial U$ (algún punto fijo en la frontera).

Mi pregunta es: ¿por qué se hace esto? La idea es que esta transformación te da una EDP de la misma forma y ahora desde el principio, dado algún punto $x^0 \in \Gamma$ puede asumir que $\Gamma$ es plana cerca de $x^0$ (acostado en el plano $x_n = 0$ .

Supongo que tiene algo que ver con permitirte tomar derivadas más fácilmente (en lugar de en algún dominio general no enderezado) pero no estoy viendo por qué esto es útil o cómo se utiliza incluso en los cálculos posteriores para construir soluciones.

Answer 1

La planitud de la frontera se utiliza en toda la sección "Solución local". Se empieza por plantear el problema de forma que la frontera sea $x_n=0$ . Entonces la ecuación de las curvas características se convierte en $\mathbf x(s) = \mathbf x(y_1,\dots, y_{n-1}, s)$ donde $(y_1,\dots, y_{n-1}, 0)$ es el punto inicial de la curva. Esta estructura de $\mathbf x$ se utiliza para encontrar su matriz derivada y concluir que es invertible.

Sin que la frontera sea plana, ¿cómo escribiríamos el mapeo $\mathbf x$ ? El punto inicial sería $(y_1, \dots, y_n)$ sujeta a alguna restricción no lineal sobre $y_1,\dots, y_n$ . Por lo tanto, $\mathbf x$ depende de $(n+1)$ variablves $y_1,\dots, y_n, s$ que no son independientes. No es exactamente lo que necesitamos para aplicar el Teorema del Mapa Inverso $\mathbf x$ .