La limitación de la integración por partes para calcular $\int e^{-x}(\cos wx + w\sin wx)dx$

Question

Traté de resolver la siguiente pregunta por integración por partes pero es iterativo y no se encuentra una solución. $$\int e^{-x}(\cos wx + w\sin wx)dx$$ donde $w$ es constante.

¿Hay algún método por el cual esta cuestión podría resolverse? No quiero que la solución a todo, pero una idea de cómo lidiar con este tipo de preguntas.

Answer 1

Olvidar la integración por partes. Hay una manera más sencilla. Me voy a hacer uno de los términos, el otro es similar.

$$\int e^{-x}\cos{wx} dx = Re(\int e^{-x}\cos{wx} dx) = Re(\int e^{-(1+jw)x} dx) = Re(-1/(1+jw) e^{-(1+jw)x}) = -1/(1-w^2)e^{-x}\cos{wx}$$

Doble check my álgebra por favor - yo no he hecho en años.

Answer 2

Sugerencia; Separar los intgral en 2 partes como esta;

$$\int e^{-x}(\cos wx + w\sin wx)dx= \int e^{-x}(\cos wx) dx+\int e^{-x}(w\sin wx)dx$$

Luego de integrar por partes la primera 'hasta que la magia sucede.

Sugerencia#2; $e^{-x}\cos wx$ puede ser escrito como $-\cos wx \times -e^{-x}$