Contorno problema de integración

Question

Estoy a evaluar $\displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x(x^2+1)}dx$ a través de contorno de integración.

Ahora he utilizado una sangría de contorno semicircular, y las partes acostado en la recta real y el gran arco no eran un problema, pero el pequeño arco es ser resistente, y no estoy seguro de qué hacer. Generalmente, en el pequeño arco de $-\varepsilon$ $\varepsilon$I puede tomar una laurent expansión de el integrando, y estudiar la posibilidad de integrar su principio parte sobre el arco, dejando que el resto se vaya a cero en el límite de $\varepsilon \to 0$ como la "holomorphic parte". Mi problema es este particular integrando no tiene un principio...

El resultado final es $\dfrac{(e-1)\pi}{2e}$, y hasta ahora tengo la integral sobre todo el contorno como $\dfrac{-\pi i}{e}$ (no estoy seguro de por qué esto salió imaginario..) por lo que esta parte va a tener que aportar algo. ¿Qué debo hacer para obtener algo?

Answer 1

Mi problema es este particular integrando no tiene una parte principal...

Entonces la integral sobre el gran semicírculo no funciona. Recuerde que

$$\lvert \sin (x+iy)\rvert^2 = \lvert \sin x \cos (iy) + \sin(iy)\cos x\rvert^2 = \sin^2 x+ \sinh^2 y,$$

así que si usted sigue el seno en el integrando, usted no tiene el control del crecimiento a la conclusión de que la integral sobre el gran semicírculo tiende a $0$.

El uso de la simetría para obtener

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}\,dx &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}\,dx\\ &= \frac{1}{2i}\operatorname{v.p.} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x(x^2+1)}\,dx, \end{align}$$

entonces usted tiene una integrando con un simple polo en el contorno, y el pequeño semicírculo da $\pi i$ veces el residuo en $0$, siendo este último el $1$.

El uso de ambos semicírculos en la mitad superior del plano -, la integral sobre el contorno cerrado es

$$2\pi i \operatorname{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)}; i\right) = 2\pi i \frac{e^{-1}}{i\cdot 2i} = - \frac{\pi i}{e}.$$

Por lo tanto

$$\operatorname{v.p.}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x(x^2+1)}\,dx = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_{\lvert x\rvert > \varepsilon} \frac{e^{ix}}{x(x^2+1)}\,dx = \pi i \frac{e-1}{e}$$

y

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}\,dx = \frac{\pi(e-1)}{2e}.$$

Answer 2

Definir

$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)}\;,\;\;C_R:=[-R,-\epsilon]\cup\gamma_\epsilon\cup[\epsilon,R]\cup\gamma_R\;\;,\;\;\text{with}$$

$$\gamma_a:=\{z=ae^{it}\;,\;\;a,t\in\Bbb R_+\;,\;\;0<t<\pi\}$$

Entonces la función tiene un único polo en el dominio definido por el contorno:

$$\text{Res}_{z=i}(f):=\lim_{z\to i}\,(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}}{z(z+i)}=\frac{e^{-1}}{-2}=-\frac1{2e}$$

Por lo tanto, del teorema de Cauchy:

$$-\frac{\pi i}e=-2\pi i \frac1{2e}=\oint\limits_{C_R}f(z)dz=\int\limits_{-R}^{-\epsilon}f(x)dx-\int\limits_{\gamma_\epsilon}f(z)dz+\int\limits_\epsilon^Rf(x)dx+\int\limits_{\gamma_R}f(z)dz$$

Por Jordan el Lema, la última integral sobre tiende a cero cuando $\;R\to\infty\;$ , mientras que el segundo es igual a $\;\pi i\;$ al $\;\epsilon\to 0\;$ por el corolario a continuación el lema en la respuesta aquí:integral definida en el cálculo con 0 poste y y porque

$$\text{Res}_{z=0}(f):=\lim_{z\to 0}\,zf(z)=\lim_{z\to 0}\frac{e^{iz}}{(z^2+1)}=1$$

De esta manera, conseguimos pasar el límite de $\;R\to\infty\;,\;\;\epsilon\to 0\;$ :

$$-\frac{\pi i}e=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x(x^2+1)}dx-\pi i\implies\ldots$$

Ahora se acaba de tomar imaginaria y tomar en cuenta la real integrando la función es par.

Answer 3

Mi conjetura es que usted debe tener dos integrales, una para el residuo de a $i$ y el otro al $-i$

Para el $i $ residuo de tomar el ángulo de $3\pi/4$ para el otro tome $-3\pi/4$