Cómo encontrar el $\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+n}\frac{1}{n(m+2n)}$

Question

encontrar el valor $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+n}\dfrac{1}{n(m+2n)}$$

Creo que este es un buen problema,Gracias a todos

Me parece $$\int_{0}^{1}\dfrac{\ln{(1+x^2)}}{1+x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+n}\dfrac{1}{n(m+2n)}$$

Answer 1

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+n} \frac{1}{n(m+2n)} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \int_{0}^{1} (-x)^{m-1} \cdot \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{n} \, dx\\ &= \int_{0}^{1} \frac{\log(1+x^2)}{1+x} \, dx. \end{align*}

Para la última integral, puede consultar este sitio.