Convergencia uniforme de la composición de funciones y la integración

Question

Me he estado preguntando acerca de este problema para un poco, surgió en la clase, pero no es realmente la tarea.

Deje $f:[0,1]->R$ ser continua y no negativa.

Sabemos $f(x^n)\to f(0)$ $x \in [0,1)$ y $f(x^n)\to f(1)$ $x=1$ . Qué $f(x^n)\to f(0)$ uniforme? Lo que me gustaría hacer es usar esa en la que muestra que el siguiente tiene $$ \lim_{n\to\infty} \int^{1}_{0} f(x^n) =f(0) $$ dividiendo $[0,1]$ a $[0,1-\epsilon]$ $[1-\epsilon,1]$...o algo así. Pero he estado realmente atascado en esa primera parte. Espero que el látex funciona en mi teléfono..

Answer 1

Su idea de las grandes obras. El gráfico en el segundo intervalo de longitud de $\epsilon$, y limitada la altura, por lo que va a 0, mientras que la primera parte de las necesidades de un poco más de trabajo. Pick $\delta$, de modo que si $0<u<\delta$, $|f(u)-f(0)|<\eta$ para cualquier $\eta$. A continuación, recoger $n$$(1-\epsilon)^n<\delta$.

Answer 2

El pointwise convergencia $f(x^n) \rightarrow f^*(x) = \bigg\{ \begin{eqnarray} f(0), & x < 1 \\ f(1), & x = 1 \end{eqnarray}$ $n \rightarrow \infty$ no es necesariamente uniforme. Sin embargo, hay un majorant $g(x) = \max_{x \in [0,1]} |f(x)|$ que satisface para $f_n(x) = f(x^n)$ la desigualdad de $g(x) \geq |f_n(x)|$ y es integrable, es decir, su integral converge. Por lo tanto se puede aplicar el Lebesgue teorema de convergencia dominada (la segunda ecuación a continuación). Tenemos \begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f(x^n) dx & = & \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 f^*(x) dx = f(0) \ . \end{eqnarray} Tenga en cuenta que $f^*(x)$ puede ser calculada de la siguiente manera. Supongamos primero $x<1$. Entonces, por la continuidad de $f$ hemos \begin{equation} f(0) = f(\lim_{n \rightarrow \infty} x^n) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(x^n) \end{equation} Asumir, a continuación,$x=1$. Tenemos \begin{equation} f(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(1^n) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(x^n). \end{equation}

Answer 3

También puede utilizar el teorema de la convergencia dominada (como $f$ es continua, es también limitado en $[0,1]$) a modo de conclusión el uso de la pointwise convergencia.