Ejemplos de resultados fallidos en dimensiones superiores

Question

Algunos economistas no aprecian el rigor en el uso de las matemáticas y me parece muy desalentador.

Uno de los ejemplos de enfoque carente de rigor son las pruebas realizadas mediante gráficos o imágenes sin formalizar el razonamiento. Me gustaría, por tanto, presentar algunos ejemplos de teoremas (u otros resultados importantes) que pueden ser ciertos en dimensiones bajas (y son bastante intuitivos gráficamente) pero que fallan en dimensiones más altas.

Por cierto, estos ejemplos están dirigidos a personas que no tienen una gran formación matemática (algo de álgebra lineal y cálculo), por lo que se agradecerá que se eviten las afirmaciones técnicas.

Teorema de Jordan-Schoenflies podría ser un ejemplo de este tipo (aunque la mayoría de los economistas no están familiarizados con la noción de homeomorfismo). ¿Podría indicarme algún otro?

Gracias.

Answer 1

Los paseos aleatorios simétricos simples en 1 y 2 dimensiones vuelven al origen infinitas veces, pero no en 3 y más dimensiones.

Es decir, si estás en una recta numérica (o en un plano de coordenadas) y lanzas repetidamente una moneda para determinar si das un paso en la dirección positiva o un paso en la dirección negativa (o haces algo para elegir aleatoriamente 1 paso en la dirección x o y positiva o negativa), la probabilidad de que vuelvas al origen es 1. Si haces lo mismo en 3 dimensiones (o más), donde estás eligiendo aleatoriamente entre 6 (o más) direcciones para dar 1 paso, la probabilidad de volver al origen es menor que 1.

editar : La probabilidad $p(d)$ de un $d$ -El paseo aleatorio simétrico simple que vuelve al origen se llama aparentemente Constante de paseo aleatorio de Pólya . $p(1)=p(2)=1$ pero $p(3)\approx 0.34$ , $p(4)\approx 0.19$ , $p(5)\approx 0.14$ , $p(6)\approx 0.10$ , $p(7)\approx 0.09$ y $p(8)\approx 0.07$ (del artículo de MathWorld enlazado).

Answer 2

Caos no puede existir en sistemas dinámicos continuos de una o dos dimensiones. Esto significa, entre otras cosas, que en una o dos dimensiones si se suministran entradas similares se obtendrán salidas similares.

Sin embargo, en 3 o más dimensiones la dinámica puede ser caótica, lo que significa que entradas similares no conducen necesariamente a salidas similares (se puede ver esto en el Ecuaciones de Lorenz un modelo rudimentario de la dinámica atmosférica).

Answer 3

"Un polinomio no constante sobre $\mathbb R$ (o $\mathbb Q$ o un campo arbitrario, según la sofisticación de su colega) que no tiene cero es irreducible". Esto es cierto en grados $\leq3$ pero falso para los grados superiores. Sorprenda a su economista preguntándole si $x^4+4$ es irreducible y después de una respuesta probablemente positiva, escribe con calma $$x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$$

Esto no tiene que ver con la dimensión, pero tal vez esté en el espíritu de tu pregunta: que la falta de rigor puede llevar a errores, incluso si una afirmación es verdadera para algunos números enteros bajos]

Answer 4

Puede ser este. Cada polígono tiene un triangulación pero no todos los poliedros pueden ser tetraédricos ( Poliedro de Schönhardt )

Answer 5

He aquí un ejemplo que no requiere demasiados conocimientos matemáticos, y el resultado de baja dimensión es intuitivo gráficamente:

Sabemos que si una función diferenciable $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tiene un solo punto estacionario, que es un mínimo local, entonces debe ser un mínimo global (esto es intuitivamente obvio, y se puede demostrar utilizando el teorema de Rolle). Sin embargo, este resultado no se generaliza a dimensiones superiores. Un ejemplo sería $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ con $ f(x,y) = x^2 + y^2(1-x)^3 $ . Esta función tiene un único punto estacionario en $ (0,0) $ que es un mínimo local pero no un mínimo global (esto se puede ver considerando $ x >> 1 $ ). ( Gráfico interactivo en 3D )