Realiza la medición de un conjunto dependen de una medida específica o es "universal"?

Question

Yo sé que un espacio medible es una tupla $(X,\Sigma)$ donde $X$ es un conjunto y $\Sigma$ $\sigma$- álgebra de (mensurable) de subconjuntos de a $X$. Una medida de espacio, en contraste, es una triple $(X,\Sigma,\mu)$ donde $X$ es un conjunto, $\Sigma$ $\sigma$- álgebra de (mensurable) de subconjuntos de a $X$, e $\mu$ es una medida.

La obvia diferencia principal es que un espacio medible no requiere de una medida específica. ¿Significa esto que la medición de un concepto que es completamente independiente de cualquier medida específica? Se $\sigma$-álgebras de siempre medibles por cualquier medida, o son consideradas medible si al menos una medida válida existe? Si la medición es un concepto independiente de medidas específicas, ¿por qué hay una correspondencia entre, por ejemplo, Borel $\sigma$-álgebras y la medida de Borel, o Lebesque $\sigma$-álgebras y la medida de Lebesgue?

Tal vez alguien puede aclarar y me apunte a algunos de los recursos que dejar esto en claro. Gracias!

Answer 1

Dado un par de $(X, \Sigma)$ consiste en un conjunto $X$ $\sigma$- álgebra $\Sigma$ de los subconjuntos de a $X$, es frecuente llamar a los elementos de $\Sigma$ medibles. Sin embargo, esto es sólo un nombre y no digo nada más (esto es similar a llamar a los elementos de una topología de abrir subconjuntos).

El punto es, cuando se empieza con $(X, \Sigma)$, se declaran $\Sigma$ a ser el conjunto de los subconjuntos de a $X$ que se desea medir, sólo en la medida que falta y hay muchas medidas que pueden ser de interés. Por ejemplo, la medida de Lebesgue es sólo una de las muchas medidas que se pueden definir en el Lebesgue $\sigma$-álgebra. La teoría de la probabilidad va a dar muchos otros ejemplos importantes.

A continuación, de nuevo, usted puede reemplazar a $\Sigma$ otro $\sigma$-álgebra $\Sigma'$ para obtener un nuevo espacio medible $(X, \Sigma')$ en el que establece que son medibles en $(X,\Sigma)$ podría no ser medible por más tiempo (y viceversa, claro).

Answer 2

Ver las respuestas que han recibido ya. Me gustaría añadir que los llamados exterior medidas de inducir $\sigma$-álgebras. De tal forma que el exterior de la medida restringida a es una medida en ella. Eso podría explicar el uso de la terminología como "medida de Lebesgue". Empezamos con lo que ya llaman "el Lebesgue exterior de la medida", y el $\sigma$-álgebra inducida por el llamado "Lebesgue $\sigma$-álgebra". Así que la noción de medición establece a continuación, precede a la noción de $\sigma$-álgebra. Ver aquí y/o aquí para obtener más información.

Answer 3

Sí, un espacio medible $(X, \Sigma, \mu)$ significa que $(X, \Sigma)$ debe ser un $\sigma$-álgebra. La función de $\mu$ que se requiere para ser una función definida en todo el $\Sigma$.

Por lo que la capacidad de medición en un espacio medible depende de la correspondiente $\sigma$-álgebra. Que es $E$ es medible en $(X, \Sigma, \mu_1)$ fib es medible en $(X, \Sigma)$ que es el fib es medible en $(X, \Sigma, \mu_2)$.

Por supuesto, la cuantificación no es más universal que el que. Podemos tener $(X, \Sigma_1)$ $(X, \Sigma_2)$ $\Sigma_1 \ne \Sigma_2$ siempre $|X|\ge 2$.