Cómo encontrar esta $\frac{yf_{y}-z}{f_{x}}+\frac{xf_{x}-z}{f_{y}}-xf_{x}-yf_{y}+x+y+z=C$ solución

Question

En avión $R^3$,Encontramos a $z=f(x,y)$, la longitud de la porción de cualquier recta tangente a la astroid $$z=f(x,y)$$ cortado por los ejes de coordenadas es constante $C$,

Este problema es a partir de este post (cuando yo respondo a ella) ¿Cómo encontrar una solución a este PDE $\frac{xf'_{x}}{f'_{y}}+\frac{yf'_{y}}{f'_{x}}+x+y=C$

mi idea: creo que esta es anser es $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=C$$,porque nos fáciles de encontrar esta función es tal que,

seguir es mi respuesta parcial: deje $z=f(x,y)$,entonces el plano tangente es $$f_{x}[X-x]+f_{y}[Y-y]=Z-z$$ así $$X=\dfrac{yf_{y}-z}{f_{x}}+x,Y=\dfrac{xf_{x}-z}{f_{y}}+y,Z=z-xf_{x}-yf_{y}$$ así $$X+Y+Z=C\Longrightarrow \dfrac{yf_{y}-z}{f_{x}}+\dfrac{xf_{x}-z}{f_{y}}-xf_{x}-yf_{y}+x+y+z=C$$ entonces, ¿Cómo encontrar a $z=f(x,y)?$ Sé que esto de la PDE tiene una solución $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=C $$ es tal,Pero Ahora, ¿Cómo demostrarlo?

Gracias,me enamoré de este problema es muy interesante. Espero que alguien me pueda ayudar,Gracias

Answer 1

Sólo para dar mayor claridad, el uno al otro de la solución de $$ \frac{y f_y - z}{f_x} + \frac{x f_x -z}{f_y} - x f_x - y f_y + x+ y+ z = C $$ es $z = x + y -C$.

Answer 2

mi respuesta es :

en primer lugar,asumimos que: $$X=\dfrac{yf_{y}-z}{f_{x}}+x=P+x,Y=\dfrac{xf_{x}-z}{f_{y}}+y=Q+y,Z=z-xf_{x}-yf_{y}=z-R$$ a continuación, $C^2=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}=C+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}-P-Q+R$ $C(C-1)=(X+Y+Z)(X+Y+Z-1)=(X+Y+Z)^2-(X+Y+Z)=(x+y+z+P+Q-R)^2-(x+y+z+P+Q-R)=2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}-P-Q+R$$\Longrightarrow$$x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}=C^2$

$\Longrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=x+y+z+P+Q-R$$\Longrightarrow$$\frac{f_{x}}{f_{y}}-{f_{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$$,\frac{f_{y}}{f_{x}}-{f_{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}-1$$,\frac{{1}}{f_{x}}+\frac{1}{f_{y}}=1-\frac{1}{\sqrt{z}}$$\Longrightarrow$$f_{x}=-\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}},f_{y}=-\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{y}}$

por lo tanto, $C^2=C^2$ tiene