Deje $g(x,0) = x$ $g(x,t+1) = g(x,t) - \dfrac{1}{g(x,t)}$ para cada una de las $t$.
Desde el hecho de
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x-\frac{1}{x}\right)dx&=\int_{0}^{\infty}f\left(x-\frac{1}{x}\right)dx+\int_{-\infty}^{0}f\left(x-\frac{1}{x}\right)dx=\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(2\sinh T)\,e^{T}dT + \int_{-\infty}^{\infty}f(2\sinh T)\,e^{-T}dT=\\ (collecting\space terms ) &=\int_{-\infty}^{\infty}f(2\sinh T)\,2\cosh T\,d T=\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx. \end{align}
como se describe aquí : ¿por Qué es esta integral $\int_{-\infty}^{+\infty} F(f(x)) - F(x) dx = 0$?
Estoy tentado a concluir
$\int_{-\infty}^{\infty}f(g(x,t))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx.$
para cada una de las $t$.
ASÍ que me preguntaba acerca de la situación general :
Deje $H(x)$ ser real-analítica de la función tal que :
$\int_{-\infty}^{\infty}f(H(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx.$
y la integral existe,
y definir,
$G(x,0) = x$ $G(x,t+1) = H(G(x,t)) $ para cada una de las $t$.
¿Esto Siempre implica que :
$\int_{-\infty}^{\infty}f(G(x,t))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx.$ ?
Relacionado con :
$\int_0^{\infty} A( f(B(x)) ) + C(x) ) dx = \int_0^{\infty} f(x) dx$
¿Por qué es esta integral $\int_{-\infty}^{+\infty} F(f(x)) - F(x) dx = 0$?
$$edit :$$
He evitado hablar acerca de la unicidad para evitar hacer las cosas complicadas , pero cuando la unicidad de la inversa Abel funciones parece un problema, la verdad de esta conjetura podría dar una intresting unicidad de criterio para la compleja dinámica ?
Por cierto, aviso a $x-\frac{1}{x}$ tiene su punto fijo en el infinito.
Supongo que no todos los de la real fixpoints de $H(x)$ puede ser parabólico. También a la inversa Abel función de $H$ no uso real parabólico fixpoints como la forma correcta de la computación.
DE HECHO, probablemente, $H(x)$ nunca ha reales fixpoints para evitar el PROBLEMÁTICO caso de convergeance : $f(x) , f(H(x)) , f(H(H(x))) , ... $ $f$(punto fijo) = constante distinto de cero !! A pesar de que no es una prueba.
Tengo que dar un poco de crédito a mi mentor tommy1729 quien habló de este viernes pasado.
$$EDIT\space 2 :$$
Demasiado dirección de sheldon comentario :
Para calcular los $g(x,\frac{1}{2})$ I utilice el método siguiente :
$g(x,\frac{1}{2}) = \lim_{n\space \to +\infty} g(\frac{g(x,-n)+g(x,-n+1)}{2},n) $
Más generalmente
$g(x,t) = \lim_{n\space \to +\infty} g((1-t)\space g(x,-n)+ t\space g(x,-n+1),n) $
$$EDIT \space 3$$
Podría ser intresting tener en cuenta que una condición necesaria para la conjetura para ser verdad parece ser que esta abajo
$$\frac{d}{dt} \space \int_{-\infty}^{\infty}f(g(x,t))= 0$$
Entonces, uno puede utilizar la diferenciación bajo el signo integral y la regla de la cadena, pero me parece una instrucción alternativa en lugar de un paso más cerca de una solución ?
Todavía estoy jugando con esta idea.
