Dejemos que $f:[1,12]\to \mathbb{R}$ ser continua y $f(1)=f(6)$ . Demostrar que existe tal $x\in [1,6]$ que $ f(x)=f(2x)$

Question

Dejemos que $f:[1,12]\to \mathbb{R}$ ser continua y $f(1)=f(6)$ . Demostrar que existe tal $x\in [1,6]$ que $ f(x)=f(2x)$

asume $g:[1,6] \to \mathbb{R}$ , $ g(x):=f(x)-f(2x)$

Ahora considere dónde $g(x)=0$ Por lo tanto, busco tales $a$ y $b$ que $g(a)\cdot g(b)\le0$

Necesito $(f(a)-f(2a))(f(b)-f(2b))\le 0$

Supongo que existe $a\in [1,6]$ tal que $f(a)\ge f(2a)$ y $f(b)\le f(2b)$ Entonces tengo la sollución del teorema de Darboux.

Pero, ¿por qué exactamente $a$ y $b$ ¿tiene que existir?

Answer 1

No parece ser correcto. Definir una función continua estrictamente positiva $f$ primero en $[1,2]$ al establecer $f(1)=4$ , $f(3/2)=1$ , $f(2)=8$ (y de forma arbitraria en cualquier parte de ese intervalo). Extiéndase ahora estableciendo $f(2x)=2f(x)$ a una función continua estrictamente positiva en $[1,12]$ y parece que tenemos un contraejemplo con $f(1)=f(6)=2^2f(3/2)=4$ y $f(2x)-f(x)=f(x)>0$ .