Mostrar $\{ (\xi,\eta,\zeta) \in \mathbb{R^3} : \xi = \eta = \zeta \}$ está cerrado

Question

Mostrar $F =\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_1 = x_2 = x_3 \}$ está cerrado.

Me gustaría que me ayudaran a rematar mi solución a continuación. También se agradecen otras respuestas.

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Basta con demostrar que el complemento $F^C$ está abierto.

Ahora el complemento puede escribirse como sigue $$\begin{align} F^C &= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : \neg( x_1 = x_2 = x_3)\}\\ &= \bigcup_{i< j} \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_i \not= x_j \}\\ &= \bigcup_{i< j}\left( \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_i > x_j \} \cup \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_i < x_j \} \right) \end{align}$$

Ahora la unión de una colección de conjuntos abiertos es abierta.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $i=1, \ \ j=2$ entonces basta con demostrar que $A \ \ = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_1 < x_2 \}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R^3}$ . (La prueba de que $A^* = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} : x_1 > x_2 \}$ es un conjunto abierto que esperamos sea muy similar).

Para ello:

Arreglar $a = (a_1,a_2,a_3) \in A$

Elija $r = |a_1 - a_2|$

Arreglar $b = (b_1,b_2,b_3) \in \mathbb{R^3}$

¿Es cierto que $\| a - b \| < r \Rightarrow b \in A \ \ ?$

Si es así, ¿cómo y por qué? Si no es así, ¿cuál es una opción adecuada para r?

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Referencia

Este fue el ejemplo 8.5.(e) tomado de:

Bartle, Robert G., Los elementos del análisis real John Wiley and Sons, 1964

Answer 1

Definir $f(x) = (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2$ . Entonces $F=f^{-1} (\{0\})$ está cerrado porque $f$ es continua y $\{0\}$ está cerrado.

De manera similar: Dejemos que $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$ . Entonces $F = \ker A$ que está cerrado ya que $x \mapsto Ax$ es continua.

Otra forma, ligeramente diferente. Supongamos que $x_n \to x$ y $x_n \in F$ para todos $n$ . Entonces cada componente converge al mismo valor (ya que $[x_n]_k = [x_n]_1$ para todo lo que sea apropiado $n,k$ ). Por lo tanto, $x=([x]_1,[x]_1,[x]_1)$ y así $x \in F$ .

Answer 2

Creo que hay enfoques más rápidos y abstractos (creo que se debería poder aprovechar el hecho de que las proyecciones son mapas abiertos para reducir rápidamente a $\mathbb R$ ).

Pero, para concluir tu prueba, necesitas lo siguiente: dado $a \in A$ existe un $\epsilon>0$ tal que $\Vert b-a \Vert < \epsilon$ implica $b \in A$ es decir, que $b_1 < b_2$ .

Observe que $\Vert b -a \Vert^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 \ge \max_i \vert a_i - b_i \vert ^2$ .

Dejemos que $r = a_2 - a_1 > 0$ . Entonces $$b_1 - b_2 \le \vert b_1 - a_1 \vert + \vert b_2 - a_2 \vert + a_1 - a_2 \le 2 \Vert b - a\Vert - r {}{}{}{} < 2 \epsilon - r$$

Por lo que tomar $\epsilon = r/2$ hace el trabajo.

Answer 3

Definir $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\quad f(x_1,x_2,x_3)=x_2-x_1$$ . Observe que $$A=\{(x_1,x_2,x_3):\mathbb R^3:f(x_1,x_2,x_3)\in(-\infty,0)\}$$ $(-\infty,0)$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$ y como esta función es continua termina la prueba. Haz lo mismo para los demás casos. Sobre tu afirmación: tal vez sea correcta pero normalmente tendemos a preferir elegir una función contigua donde el origen de cada conjunto abierto es abierto (y lo mismo para los conjuntos cerrados).