Estoy tratando de entender la proposición 3.' HoCA (vol. I).
La proposición 3.4.2 Considerar un functor $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ con ambos a la izquierda adjunto functor $G$ y un derecho adjoint functor $H$. Si functor es completa y fiel, si es el otro functor adjunto.
Hay algunos pequeños errores en la prueba, pero no son gran cosa.
Borceux llamadas $\epsilon \colon GF \Rightarrow 1_{\mathcal A}$, $\eta\colon 1_{\mathcal B} \Rightarrow FG$ y $\alpha \colon FH \Rightarrow 1_{\mathcal B}$, $\beta\colon 1_{\mathcal A} \Rightarrow HF$ el counits y unidades de la adjuctions.
Por la dualidad, es suficiente para probar, wlog, que si H es totalmente fiel a continuación, el mismo tiene para la G. Además, esta norma es equivalente (por la proposición 3.4.1) para decir que $\eta$ es la iso siempre que $\alpha$ es.
El reclamo es que
$\alpha \circ (1_F *\epsilon * 1_H) \circ (1_{FG}*\alpha^{-1}) = \eta^{-1}$.
Por la connaturalidad de $eta$,
$\alpha \circ (1_F *\epsilon * 1_H) \circ (1_{FG}*\alpha^{-1}) \circ \eta = \alpha \circ (1_F *\epsilon * 1_H) \circ (\eta*1_{FH})\circ \alpha^{-1}.$
El trangular la igualdad, es decir, $(1_F *\epsilon) \circ (\eta*1_{F}) = 1_{\mathcal F}$ (por lo tanto, en particular,$(1_F *\epsilon *1_H) \circ (\eta*1_{FH}) = 1_{\mathcal FH}$), nos da
$alpha \circ \alpha^{-1} = 1_{\mathcal B}$.
Por otro lado, la primera nota de que el triangular de la igualdad
$(\alpha *1_F)\circ (1_F * \beta) = 1_F$
implica que $1_F* \beta = (\alpha *1_F)^{-1}\quad(\heartsuit)$.
Ahora considere la posibilidad de
$\star = \eta\circ \alpha \circ (1_F *\epsilon * 1_H) \circ (1_{FG}*\alpha^{-1})$
$\star = (\text{by naturality of }\alpha) = (\alpha*1_{FG})\circ (1_{FH}*\eta) \circ (1_F *\epsilon * 1_H) \circ (1_{FG}*\alpha^{-1})$
$\star = (\text{by naturality of }1_F *\epsilon * 1_H) = (\alpha*1_{FG})\circ (1_F *\epsilon * 1_{HFG})\circ (1_{FGFH}*\eta) \circ (1_{FG}*\alpha^{-1})$
$\star = (\text{by naturality of }1_{FG}*\alpha^{-1}) = (\alpha*1_{FG})\circ (1_F *\epsilon * 1_{HFG})\circ (1_{FG}*\alpha^{-1}*1_{FG}) \circ (1_{FG} *\eta)$
El uso de $(\heartsuit)$, $\star$ es por lo tanto igual a
$(\alpha *1_{FG}) \circ (1_F*\epsilon *1_{HFG}) \circ (1_{FGF}*\beta *1_G) \circ (1_{FG}*\eta)$.
(Borceux escribe
$(1_{FG}*\alpha) \circ (1_F*\epsilon *1_{HFG}) \circ (1_{FGF}*\beta *1_G) \circ (1_{FG}*\eta)$,
pero creo que hay un pequeño error tipográfico).
La siguiente (y última) la igualdad es
$(\alpha *1_{FG}) \circ (1_F*\epsilon *1_{HFG}) \circ (1_{FGF}*\beta *1_G) \circ (1_{FG}*\eta) = (1_F*1_G)\circ (1_F*1_G)$.
¿Donde esta la igualdad?
A un lado de la pregunta. Probar todas estas últimas igualdades me he dado cuenta de que, si $A$ es una categoría, $F, G\colon A \to A$ son endofunctors, $\alpha\colon F\to 1_A$, $\beta\colon 1_A \to G$ son naturales las transformaciones, a continuación,
$\beta \circ \alpha = (\alpha *1_G)\circ (1_F *\beta)$.
Supongo que, tal vez mediante el intercambio de ley para 2-las células y hacer algunas comprobaciones, lema general suficiente para probar inmediatamente la igualdad en la última parte de la prueba.
