No tengo ni idea de cómo hacer este problema.
Encuentra la ecuación de las líneas tangentes a la curva $$y = \frac {x-1}{x+1}$$ que son paralelos a la línea $x-2y = 2$
Encontré la derivada de $y = \frac {x-1}{x+1}$ para ser $\frac 2{x^2 + 2x +1}$ y la otra línea la reescribí como $\frac{-2+x}{2}$
A partir de aquí intenté ponerlos iguales entre sí y obtuve
$6 = x^3 - 3x$ que es increíblemente difícil de resolver y probablemente no sea la respuesta. ¿En qué me he equivocado?
La línea $x-2y=2$ tiene pendiente $\frac12$ por lo que se quiere establecer la derivada de $\frac{x-1}{x+1}$ igual a $\frac12$ y resolver para $x$ :
$$\frac2{x^2+2x+1}=\frac12\;.$$
En realidad, esto sería un poco más fácil si no hubieras multiplicado el denominador; entonces tendrías $$\frac2{(x+1)^2}=\frac12\;,\tag{1}$$ así que $(x+1)^2=4$ , $x+1=\pm 2$ , ...
Añadido: Recapitulemos lo que ocurre aquí. Quieres algunas líneas que sean paralelas a la línea $x-2y=2$ . Esa línea tiene pendiente $1/2$ Así que sus líneas tienen que tener pendiente $1/2$ Así es como se sabe que son paralelos a la línea $x-2y=2$ . (Si tuvieran una pendiente diferente, acabarían cruzándola en algún lugar). La derivada $\frac2{(x+1)^2}$ da la pendiente de la tangente en cualquier punto de la curva $y=\frac{x-1}{x+1}$ queremos saber dónde está esa pendiente $1/2$ por lo que fijamos la derivada igual a $1/2$ en $(1)$ y resolver para $x$ . Usted encontró que $x=-3$ o $x=1$ por lo que hay dos puntos en la curva donde la tangente es paralela a la línea $x-2y=2$ uno es $(-3,2)$ y el otro es $(1,0)$ . Ahora sólo hay que encontrar las líneas tangentes a $y=\frac{x-1}{x+1}$ en esos dos puntos.
Para el primero, por ejemplo, tiene $y-2=\frac12\big(x-(-3)\big)=\frac12(x+3)=\frac12x+\frac32$ Así que $y=\frac12x+\frac72$ ; te dejaré lo otro a ti.
Las ecuaciones de las rectas tangentes que son paralelas es y-y1 = (1/2)(x-1) para todo y1 en números reales.
Solución: La pendiente de la curva dada es dy/dx = 2/(x+1)^2 Tenemos que encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes que son paralelas, es decir, si tomamos dos rectas tangentes cualesquiera en (x1,y1) y en (x2,y2) que son paralelas, las pendientes de esas ecuaciones deben ser iguales.
That means 2/(x1 + 1)^2 = 2/(x2 + 1)^2
Solve it then you will get x1 = x2 = 1Así que las rectas tangentes en (1,y1) que son paralelas para todo y1 en números reales, son y-y1 = (1/2)(x-1)
A partir de la ecuación de la recta, la pendiente es 1/2. Esto es lo que establece la derivada igual a, y luego resuelves para x. A partir de x, usando la función original, obtienes y.
Así que ahora tienes el punto $(x, y)$ y la pendiente; usando la forma punto-pendiente (duh) de una línea, obtenemos la ecuación de la recta tangente.
Un punto bastante menor:
Prefiero llamar al $x$ -coordenada del punto o puntos de tangencia por algún nombre que no sea $x$ como $a$ .
Desde $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{(x+1)^2}$ concluimos que la línea tangente en $x=a$ tiene pendiente $\frac{2}{(a+1)^2}$ .
A continuación, tenemos que establecer $\frac{2}{(a+1)^2}=\frac{1}{2}$ y resolver para $a$ . Después, el cómputo es el conocido.
Una cuestión similar se plantea cuando preguntamos, por ejemplo, por las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $y=x^2$ que pasan por el punto $(1,-3)$ . Tenga en cuenta que $(1,-3)$ no está en la curva. Si dejamos que el punto de tangencia sea $(a,a^2)$ entonces la ecuación de la recta tangente es $y-a^2=2a(x-a)$ . Sustituyendo $1$ para $x$ y $-3$ para $y$ obtenemos una ecuación cuadrática para $a$ . Resuelve, y esencialmente hemos terminado. Más de una vez he visto a un estudiante desviarse por usar $x$ para el $x$ -coordenada del punto de tangencia.
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