Encontrar el mínimo de $a+b$ si $13|a+11b $ $11|a+13b$

Question

Encontrar el mínimo de $a+b$ si $13|a+11b $ $11|a+13b$ donde $a,b>0$.

Mi intento :

$13|a+11b \implies 13|a+24b$ . Del mismo modo obtenemos $11|a+24b$. Ahora $\gcd(11,13)=1$, por lo tanto, $143|a+24b$.

Por lo tanto,$a+24b \geq 143$.

Cómo proceder después de esto?

Answer 1

Es 28. a+24b=n para todo n tiene soluciones ya que mcd(1,24)=1.Por lo tanto,un+24b=143z para todos los z tiene soluciones en los enteros. Para los no - z positivo, obviamente, la ecuación no tiene solución en los enteros positivos.Por lo tanto z es positivo. Para z=1,seleccionando el más grande de b tal que 24b<143 tenemos b=5 y por lo tanto 23 + 24(5)= 143.Para z>=5 tenemos 1+24(27)< 143(5)=715. Por lo tanto todas las ecuaciones donde z>=5 soluciones tales que a+b>28.

Cuando 1

Answer 2

He aquí una aproximación de fuerza bruta: iniciar con $a+11b=13k$$a+13b=11m$,$k,m\in \mathbb N$. Resolver en $a,b$ y tienes:

• $a=84.5k-60.5m$
• $b=-6.5k+5.5m$
• $a+b=78k-55m$

Por lo $a$ $b$ son enteros iff $k$ $m$ son ambos pares o ambos; en este subespacio para $(k,m)$, sólo minimizar $78k-55m$.