Cambio Integral y Derivativo respecto a un parámetro de una delta de Dirac-función

Question

Estoy tratando de resolver el 6.2 problema de Jackson y de la Electrodinámica Clásica de libros de texto. En algún momento, para obtener la solución deseada, tengo para cambiar un derivado de aplicar a una delta de Dirac-función con el operador integral:

$$\int_{\mathbb{R^3}} \frac{\partial \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x_0}(t))}{\partial t}f(\mathbf{x})\,d^3x=\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathbb{R^3}} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x_0}(t))f(\mathbf{x})\,d^3x=\frac{\partial}{\partial t}f(\mathbf{x_0}(t))$$

Bajo la hipótesis de que puedo hacer algo como esto (es decir, cambio el orden de la diferenciación y la integración)? Espero que conocidos teoremas de análisis real no se aplican en este caso, puesto que el $\delta$ no es ni siquiera una correcta función.

Answer 1

Por definición, si $T$ es una distribución, a continuación,$$\langle \partial_x T, f \rangle := - \langle T, \partial_x f \rangle\tag{1}$$ for every test function $ f=f(x)$ in $C_0^\infty(\mathbb R^n)$ (or also $C^\infty(\mathbb R^n)$ if $T$ ha compacto de apoyo como la función delta). Aquí la derivada es un poco más complicado. Sin embargo, dado que la regla de la cadena para tomar la derivada de las distribuciones compuestas con las funciones lisas es válido también para las distribuciones (es un teorema general) tenemos $$\partial_t \delta(x-x_0(t)) = \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_{x_0} \delta(x-x_0(t)) = -\frac{dx_0}{dt}|_{x}\cdot \nabla_x \delta(x-x_0(t))\:. \tag{2}$$ Como consecuencia, para cada función de $f \in C^\infty(\mathbb R^n)$, aplicando (2), $$\int \partial_t \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx = -\int \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_x \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx$$ $$= -\frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot\int \nabla_x\delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx \:.$$ La aplicación de (1) $$\int \partial_t \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx = + \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \int \delta(x-x_0(t)) \nabla_x f(x) d^nx$$ $$= \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_x f(x)|_{x_0(t)} = \frac{d}{dt}f(x_0(t))\:.$$