En una clase de grupos de orden $p^2q$

Question

Deje $|G|=p^2q$, con las siguientes condiciones:

1. Sylow-$p$ subgrupo es normal y es $\langle x,y\rangle \cong \mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p$.

2. Sylow-$q$ subgrupo es $\langle z\rangle$, y no es normal.

3. Ningún subgrupo de orden $p$ es normal en $G$.

Pregunta: ¿cuántos tipos de isomorfismo de esos grupos?

Para$p=2$$q=3$, sabemos que hay un grupo isomorfo a $A_4$.

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Mientras daba la clasificación de los grupos de orden $p^2q$ de una manera diferente, me quedé en este caso.

Answer 1

Por el teorema de Sylow, no sólo es $1$ Sylow $p$-subgrupo que es $\Bbb{Z}_p\times \Bbb{Z}_p$.

Y por el teorema de Sylow de nuevo, el número de Sylow $q$-subgrupo $n_q|1,\:p,\:p^2$, e $n_q\equiv1\mod q$.

1. Si $n_q=1$, entonces no es sólo uno de Sylow $q$-subgrupo es normal. Así que esto es imposible.

2. Si $n_q=p$, entonces no se $p$ Sylow $q$-subgrupo y $1$ Sylow $p$-subgrupo. Por lo que hay en la mayoría de las $p(q-1)+p^2$ elementos. Pero ya $$p^2q-(p(q-1)+p^2)=p(q-1)(p-1)>0$$ el total de elementos que están a menos de $p^2q$, lo cual es imposible.

Así que la única posibilidad es $n_q=p^2$, y $p^2$ Sylow $q$-subgrupo y $1$ Sylow $p$-subgrupo de $\Bbb{Z}_p\times \Bbb{Z}_p$ que es normal. Puesto que hay más de uno Sylow $p$-subgrupo, $G$ no es abelian. Hemos de probar que es el único isomorfismo tipo de $G$.

Supongamos $\:H=\Bbb{Z}_p\times \Bbb{Z}_p=\{h:h^p=1,\:h\in H\}$$K=\Bbb{Z}_q=\{k:k^q=1\}$. Claramente $K$ es cíclico. Desde $H\vartriangleleft G, \:kHk^{-1}=H, \:\forall k\in K$. Cualquier conjugar la asignación de $\{khk^{−1}=h_1,h,h_1∈H, k\in K\}$ puede ser hecho isomorfo al interior automorphism como $\{\phi:\:\phi(x)=g^{-1}xg,\:x\in G,\:g\in G, \: g\ne 1, \:g\notin Z(G)\}$ para el mismo centro.

Desde isomorfismo mantiene centro de grupo de todos los idiomas, el número de isomorfismo tipos depende del número de centro de $G$. Desde $Z(G)\vartriangleleft G$ y $|Z(G)|\mid|G|$, $|Z(G)|=1,q,p,p^2$. Por condición dada, $|Z(G)|\ne p$. Si $|Z(G)|=p^2$,$|G/Z(G)|=q$. Por lo $G/Z(G)$ es cíclico y $G$ es abelian, que es la contradicción. $|Z(G)|=q$ es casi imposible que ninguno de Sylow $q$-subgrupos es normal. Por lo $|Z(G)|=1$.

Tan sólo hay un isomorfismo tipo de $G$ $p^2$ Sylow $q$-subgrupo y $1$ Sylow $p$-subgrupo de $\Bbb{Z}_p\times \Bbb{Z}_p$.