¿Qué probabilidad hay de que un primo racional se divida en factores principales en un campo numérico de Galois?

Question

Sea $L$ sea un campo numérico de Galois sobre $\mathbb{Q}$ . Basándome en la teoría algebraica clásica de números (concretamente, en el teorema de la densidad de Chebotarev), puedo responder a muchas preguntas numéricas sobre cómo los números primos $p\in\mathbb{Z}$ dividir en $\mathfrak{O}_L$ . Por ejemplo, la probabilidad de que $p$ se divide completamente es $1/[L:\mathbb{Q}]$ y el número medio de factores es la suma sobre el grupo de Galois de los recíprocos de los órdenes (así, para una extensión cuadrática, obtenemos $1+1/2=3/2$ ya que la mitad de los primos se dividen y la otra mitad no.

Mi pregunta: Otra pregunta que cabe hacerse es si los factores de $p$ son principales (ya que $L$ es Galois, todas son conjugadas, y por tanto todas principales o todas no). ¿Existe algún resultado cuantitativo al respecto?

Uno podría esperar con optimismo que la probabilidad de que esto ocurra sea la recíproca del número de clase, pero no tengo ni idea de si esto es cierto.

Answer 1

Sí, la densidad es 1/h. Aplica Chebotarev al campo de clases de Hilbert de L.

Edición: Como señala Pete, esto no es correcto si estoy contando primos en Q. Sólo es correcto si cuento ideales primos de L y, como señala Kevin, esto sólo ve los primos en Q dividirse completamente en L.

Editar de nuevo: ¿No es el campo de clase de Hilbert de L galois sobre Q con el grupo de Galois siendo un producto semidirecto de Gal(L/Q) y el grupo de clase? Si es así, entonces aplicamos Chebotarev al campo de clases de Hilbert de L como extensión de Q y la densidad es la que salga. Así, para L/Q cuadrática, por ejemplo, la densidad es 1/2 + 1/2h. El 1/2 proviene de los primos inertes y el 1/2h de los primos principales partidos.

Answer 2

Creo que la respuesta de Felipe no es correcta. [Edito: más bien es correcta según otra interpretación de la pregunta. Pero mi interpretación también es natural, creo yo].

Digamos que un primo $p$ es inerte en $K$ si $p \mathbb{Z}_K$ sigue siendo primordial. En particular, los primos inertes tienen todos sus factores principales.

Si $L/\mathbb{Q}$ no es cíclico, entonces no hay primos inertes. Sin embargo, si es cíclico, digamos de grado $d$ entonces la densidad de primos inertes es $\frac{\varphi(d)}{d}$ que da un límite inferior a la respuesta a la pregunta de Ben. Este límite inferior puede ser ciertamente mayor que $\frac{1}{h(L)}$ Tomemos, por ejemplo, campos cuadráticos imaginarios con un discriminante suficientemente grande.