Comprobante $\displaystyle \binom{p-1}{k}\equiv (-1)^k \mod{p}$

Question

La prueba de que si $p$ es un primo impar y $k$ es un número entero tal que $1≤k≤p-1$ , entonces el coeficiente binomial

$$\displaystyle \binom{p-1}{k}\equiv (-1)^k \mod p$$

Este ejercicio fue en un examen y no he podido hacer!!

Answer 1

Deje $a=\binom{p-1}{k}$. Entonces $$a k!=(p-1)(p-2)(p-3)\cdots (p-k).$$ El $i$-ésimo término en el lado derecho es congruente a $-i$ modulo $p$. Así $$ak!\equiv (-1)^k k!\pmod{p}.$$ Ahora desde $k!$ no es divisible por $p$ podemos cancelar.

Answer 2

En el carácter $p$ donde $p$ es impar,

$$(1+X)^{p-1} = \frac{(1+X)^p}{1+X} = \frac{1+X^p}{1+X} = \frac{1-(-X)^p}{1-(-X)} = 1 -X + X^2 - \dots +X^{p-1}.$$

Answer 3

$$\binom{p-1}k=\frac{(p-1)\cdots(p-k)}{k!}=\prod_{r=1}^k\frac{p-r}r$$

Ahora $p-r\equiv-r\pmod p\implies\dfrac{p-r}r\equiv-1$

Answer 4

Usted puede demostrar por inducción sobre $k$. Si $ k=1$ $\to$ $\displaystyle \binom{p-1}{k} = p-1$ que $p-1 \equiv -1 \mod p$. Para $k= n +1$ el uso de este $\displaystyle \binom{m}{n+1} =\displaystyle \binom{m}{n} +\displaystyle \binom{m}{n+1}$