Y solo para demostrar que nací,

Question

hoy me he encontrado con una pregunta como la siguiente; $$\text{Prove that }4^n>n^2\text{ using induction.}$$ Mis Intentos:

Me he dado cuenta de que esto funciona para $P(1)$, mi siguiente intento fue $p(n)\implies p(n+1)$....(1)

He intentado multiplicar ambos lados con un $4$ que dio a $4^{n+1}>4n^2$ he intentado a su vez como $4>1^2$ y que me dio $4^{n+1}>n^2\cdot1^2$.....(2)

Después de que el inútil intento he añadido $2n+1$ a ambos lados pero no he podido averiguar todavía lo $2n$ va en el lado izquierdo...(3)

¿Cuáles son sus sugerencias?

Con la pregunta real, siendo el primero, ¿hay alguna otra manera de probar esta numéricamente? (Tal vez de una manera más lúdica?:))

Answer 1

Numéricamente no es una prueba.

La inducción funciona de esta manera

1. Es cierto para $n=1$
2. Supongamos que es cierto para $n>1$, probarlo para $n+1$
3. Esto es cierto para cualquier $n\in\mathbb{N}$.

prueba

1. en realidad $4^1> 1^2$
2. (I. H.) si $4^n>n^2$ $n>1$ considera que $4^{n+1}=4\cdot 4^n$. Ahora uso la Hipótesis Inductiva (I. H.)

$4\cdot 4^n > 4\cdot n^2 =2^2 \cdot n^2=(2n)^2>(n+1)^2$ $n>1$

resultó, por lo que

3. Para cualquier $n\in \mathbb{N}$ tenemos $4^n>n^2$

QED $$ . $$

Para decir la verdad $4^n > n^{1000}$ $n>6312$

De hecho, la inducción puede iniciarse desde cualquiera de $n$, pero esto es otra historia

Answer 2

En el punto donde ha $4^{n+1}>4n^2$ (a partir de la hipótesis de inducción) se puede probar y comprobar que $$ 4n^2\ge(n+1)^2 $$

Esto es equivalente a $$ 3n^2-2n-1\ge0 $$ o $(3n+1)(n-1)\ge0$. ¿Es esto cierto?