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Question

$x > 0$, Show $$ L = \lim_ {\to \infty n} x\sqrt {n} - \ln\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right) n = \frac{x^2}{2}. $$

Traté de escribir $ x\sqrt {n} = \ln \left (e ^ {x\sqrt {n}} \right), $ que $$ L = \lim_{n\to \infty} \frac{e^{x\sqrt{n}}}{\left (1 + x/\sqrt {n} \right) ^ n}. $$ La última expresión es el % de forma $\frac{\infty}{\infty}$.
Sin embargo, la regla de l ' hospital no va a cambiar el denumerator.

No veo qué hacer.

Answer 1

$$\begin{aligned}x\sqrt{n}-n\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)&=x\sqrt{n}-n\left(\frac{x}{\sqrt{n}}-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3}{3n\sqrt{n}}-\cdots\right)\&=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3\sqrt{n}}+\cdots\to\frac{x^2}{2}\end{aligned}$$

Answer 2

Aquí le damos un enfoque ligeramente diferente que le permite utilizar la regla de l'Hôpital.

Si dejamos que $t_n = \ln (1+ \frac{x}{\sqrt{n}})$, entonces el $t_n \to 0$ $n \to \infty$. Entonces tenemos $n = (\frac{x}{e^{t_n}-1})^2$, y la expresión se convierte en $\frac{x^2}{e^{t_n}-1}- t \frac{x^2}{(e^{t_n}-1)^2} = x^2 \frac{(e^{t_n}-1-{t_n})}{(e^{tn}-1)^2}$. Aplicando regla de l'Hôpital doble muestra $\lim{n \to \infty} \frac{(e^{t_n}-1-{t_n})}{(e^{t_n}-1)^2} = \frac{1}{2}$, de las cuales se sigue el resultado.