Álgebra de Weyl y sus centros sobre campos de característica positiva.

Question

Yo estaba tratando de leer algunas de las notas que conducen a las Dixmier conjetura, pero yo estaba esperando a ver aclarar un lexema.

Suponga que tiene el álgebra de Weyl $A_n$ sobre un campo $k$ de característica positiva $p$. ¿Por qué es el centro de la álgebra de Weyl isomorfo a el álgebra de polinomios en $2n$ variables $k$?

Un somero comentario dice esto sigue escribiendo $f=\sum_{I,J}f_{IJ}x^Iy^J$ e informática $[x_i,f]$ $[y_j,f]$ término por término.

Debo estar espeso, pero no veo que esto se está poniendo. Puede alguien por favor carne este comentario para que sea más transparente ¿por qué el resultado es verdadero? Gracias.

Edit: La cosa en cuestión es la declaración (2) del Lema 3 en estas notas. Sólo estoy esperando para ver una descripción más detallada de la prueba de la dada.

Answer 1

Demostremos por inducción que en $A_1$ $[x,y^n]=n y^{n-1}$:

• $[x,y]=xy-yx=1$
• $[x,y^n]=xy^n-y^n x= xy^{n-1}y-y^{n-1}xy+y^{n-1}xy-y^{n-1} yx=[x,y^{n-1}]y+y^{n-1}[x,y]=n y^{n-1}$

(esto también puede demostrarse considerando el $[x,-]$ como una derivación y darse cuenta de $[x,y]=1$)

Ahora, desde $[x_i,x_j]=0$ % todo $i,j$y $[x_i,y_j]=0$ si $i\neq j$, se deduce que $[x_i,x^Iy^{J_1}(y_i)^ry^{J_2}]=rx^Iy^{J_1}(y_i)^{r-1}y^{J_2}$.

Aplicación de estas fórmulas (y otros similares con $y_j$) a la suma de la observación y el uso que los monomios son linealmente independientes el resultado debe seguir.