Si $f:R \to R$ tal que $(f(x))^7=x-f(x)$ encontrar el área requerida

Question

Si $f:R \to R$ ser una función derivable tal que $(f(x))^7=x-f(x)$, luego de encontrar

hallar el área limitada por la curva de $y=f(x)$ entre las ordenadas $x=0$ $x=\sqrt{3}$ $x-$eje.

(A) $\frac{f(\sqrt3)}{8}[8 \sqrt{3}-(f(\sqrt3))^7-4 f(\sqrt3)]$

(B) $\frac{f(\sqrt3)}{8}[8 \sqrt{3}-(f(\sqrt3))^7]$

(C) $\sqrt3 f(\sqrt3)-\frac{93}{8}$

(D) Ninguno de éstos.

Aquí $(f(x))^7=x-f(x)$

Por lo tanto $x=(f(x))^7+f(x)$

que da $f^{-1} (x)=x^7+x$

es decir, pero no hay manera de llegar a $f(x)$ sí. Podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

SUGERENCIA

Sabemos que $$\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx =bf(b)-af(a)$$

Esto sigue como la sustitución de $f(x)=u$, obtenemos $$\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) + \int _{a}^{b} u f'(u) du=\int_{a}^{b} (xf(x))' dx$$

Como $(xf(x))'=f(x)+xf'(x)$ a partir del producto de la regla. Así, obtenemos $$\int_{0}^{\sqrt{3}}f(x) dx+\int_{0}^{f (\sqrt{3})}x^7+x \; dx=\sqrt{3}f(\sqrt{3})$$ Como $f(0)=0$ y el inverso de a$f(x)$$x^7+x$. Se puede tomar desde aquí?