Doble límite de $\cos^{2n}(m! \pi x)$ a los racionales y irrationals

Question

Me topé con esta "relación" (es el nombre correcto?):

$$ \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m! \pi x) = \begin{cases} 1,&x\text{ is rational}\\ 0,&x\text{ is irrational}\end{casos} $$

Cómo se llama y por qué es así? Realmente no estoy pidiendo una prueba ya que me temo que sería demasiado complicado de entender para mí, sino más bien por una "intuición".

Answer 1

La intuición es ya casi la prueba.

• El coseno toma valores entre $-1$$1$, inclusive
• Adoptar un poder se asegura de que los valores se encuentran entre el$0$$1$.
• Tomando más y más poderes no afecta a los $x$ donde el coseno al cuadrado es $1$, pero todos los demás valores se reunirán a $0$

Por lo tanto $f(x):=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(x)$ es una función que tiene valor $0$ todos los $x$, salvo que $f(x)=1$ si $\cos(x)=\pm1$, es decir, si $x$ es un múltiplo de a $\pi$. Después de esto, vemos que al multiplicar el argumento con el $\pi$ se hace para tener el valor de $1$ a los enteros en lugar de los múltiplos de $\pi$. Luego de la multiplicación con $m!$ sirve el propósito de obtener la $1$ por cualquier múltiplo entero de $\frac1{m!}$. Como $m\to \infty$, esto agota los racionales (y sólo ellos).

Answer 2

Primer aviso de que $-1\le\cos m!\pi x\le 1$ todos los $m$$x$, lo $0\le\cos^2m!\pi x\le 1$. Supongamos que $0\le y\le 1$; a continuación,

$$\lim_{n\to\infty}y^n=\begin{cases} 0,&\text{if }y\ne 1\\ 1,&\text{if }y=1\;. \end{casos}\etiqueta{1}$$

Ahora $\cos^2 m!\pi x=1$ si y sólo si $m!x$ es un número entero. Decir $m!x=a$ para algunos entero $a$; a continuación,$x=\frac{a}{m!}$, un número racional. Por lo tanto, $m!x$ nunca es un número entero al $x$ es irracional, y por lo tanto para todos los $m$ hemos $\cos^2m!\pi x\ne 1$. $(1)$ implica entonces que $$\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x=0$$ for all $m$, and of course in that case $$\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x=\lim_{m\to\infty}0=0\;.$$

Esto explica por qué el límite es de $0$ al $x$ es irracional.

Si $x$ es racional, por otro lado, podemos escribir $x=\frac{a}b$ para algunos enteros $a,b$$b>0$. A continuación, para todos los $m\ge b$ podemos estar seguros de que $m!x$ es un número entero y que, por ende,$\cos^2m!\pi x=1$. Pero, a continuación, la secuencia de

$$\left\langle\cos^{2n}m!\pi x:n\in\Bbb N\right\rangle$$

es constantemente $1$$m\ge b!$, por lo que para $m\ge b!$ hemos

$$\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x=1\;.$$

Pero, a continuación, la secuencia de $$\left\langle\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x:m\in\Bbb N\right\rangle$$

es constantemente $1$$m\ge b!$, y

$$\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x=1\;.$$

Answer 3

No estoy seguro de que tiene un nombre, pero aquí es bastante simple prueba:

Si $m!x$ es un número entero, entonces $\cos^{2n}(m!\pi x) = 1$.

Si $x$ es racional $\frac{p}{q}$, después, con el tiempo, lo suficientemente grande como para $m$, $m!$ será divisible por $q$ (y permanecer así para los grandes m), por lo que el $m!x$ va a ser un número entero, y tenemos lo que queremos.

Si $x$ es irracional, $m!x$ nunca será un número entero, y $|\cos(m!\pi x)| \lt 1$, por lo que el $\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m!\pi x) = 0 $ todos los $m>0$.

(Esto puede necesitar algún tipo de limpieza a realizar riguroso...)