'Término de Error' en la función zeta

Question

Posibles Duplicados:
¿Cuál es la expresión de $n$ que es igual a $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}$?

Asintótica fórmulas para el n-ésimo número armónico son bien conocidos: $$ \sum_{k=1}^n\frac1n=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right) $$ con términos más fáciles de generar, si es necesario.

Es que no hay una fórmula similar para la suma de los recíprocos de los cuadrados? Algo como $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\cdots+O\left(\frac{1}{n^4}\right) $$ (orden negociable, pero idealmente algo decente como el de arriba).

Answer 1

Sí, yo creo que usted puede conseguir esto de los Euler McLaurin Suma fórmula.

Que de acuerdo a mi anterior respuesta aquí: http://math.stackexchange.com/a/14518/1102 viene (si sólo se incluyen hasta $n^{-2}$)

$$\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6} - \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \mathcal{O}(\dfrac{1}{n^3})$$

Answer 2

Wikipedia da la identidad

$$\int_0^a H_{x,2}\;\mathrm dx=a\frac{\pi^2}6-H_a$$

donde$H_{n,m}=\sum_{k=0}^n k^{-m}$$H_n = H_{n,1}$. Puede ser útil para obtener una aproximación.