Es real la línea desconectada en la topología discreta?

Question

Mi profesor me dijo que la línea real está conectado en cualquier topología. Pero estoy pensando que si por ejemplo tenemos en cuenta la topología discreta en $\mathbf R$ i.e cada subconjunto abierto para cualquier $x$ en $\mathbf R$ $(-\infty,x) \cup [x,\infty)$ sería una partición de abrir conjuntos tales que su unión es $\mathbf R$ e lo $\mathbf R$ se desconecta en la topología discreta. Es lo que yo estoy diciendo mal? por qué?

Answer 1

Estás en lo correcto. La única espacios discretos que están conectados son aquellos con más de un punto, ya que de lo contrario, tienen un no-vacío subconjunto abierto y cerrado.