Estoy atascado demostrando que un simple grupo de $G$ orden $60$ es isomorfo a $A_5$.
En particular:
Me han mostrado $|Syl_5(G)|=6$$|Syl_3(G)|=10$, por lo que no debe ser $6\cdot(5-1)=24$ elementos de orden $5$ $10\cdot(3-1)=20$ elementos de orden $3$.
Yo podría mostrar $|Syl_2(G)|\notin\{1,3\}$.
Ahora, cuando me quedo atascado: necesito mostrar $|Syl_2(G)|\neq15$ y, por tanto,$|Syl_2(G)|=5$. Sé que tengo que usar el hecho de que ya hay $20+24=44$ elementos de orden coprime a $2$. Eso deja sólo $60-44-1=15$ elementos para tener un orden de 2 o 4, que de alguna manera se tiene que llevar a una contradicción a $|Syl_2(G)|=15$. Pero el 2-Sylow-los grupos han pedido $2^2$ y, por lo tanto se cruzan no trivialmente. Entonces, ¿cómo puedo argumentar a partir de aquí?
Esto probablemente se puede hacer en una forma muy elemental, pero yo no la veo... así que gracias por la ayuda!
