Nunca he visto esta afirmación en ningún libro de texto; en cualquier caso, es incorrecto. La afirmación parece ser que si tienes dos fracciones $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$$a < b$$c < d$,$|a - b| < |c - d| \iff \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
Esto es falso. Podemos escribir $\frac{a}{b} = 1 - \frac{b-a}{b}$$\frac{c}{d} = 1 - \frac{d-c}{d}$, por lo que usted está comparando $\frac{b-a}{b}$ $\frac{d-c}{d}$ (el que sea mayor, la fracción correspondiente es menor). El primer numerador puede ser menor que el segundo, pero la comparación real de estas fracciones, por supuesto, pueden ir de cualquier manera.
Por ejemplo,
Aquí está una con $b - a < d - c$ pero $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$: considere el $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.
Aquí está una con $b - a < d - c$ pero $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: considere el $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$.
Aquí está una con $b - a < d - c$ pero $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$: considere el $\frac{2}{3} < \frac{5}{7}$.
Así que todos los resultados son posibles; la prueba es una tontería.
Edit: Sólo por diversión/integridad, aquí hay una tabla que muestra los pares de $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ con cada combinación posible de los dos comparisions:
$$\begin{array}{c|c|c|c}
& \frac{a}{b}<\frac{c}{d} & \frac{a}{b}=\frac{c}{d} & \frac{a}{b}>\frac{c}{d}\\
\hline \\
b-a<d-c & \frac23,\frac57 & \frac23,\frac46 & \frac23,\frac35\\
\hline \\
b-a=d-c & \frac23,\frac34 & \frac23,\frac23 & \frac23,\frac12\\
\hline \\
b-a>d-c & \frac57,\frac23 & \frac46,\frac23 & \frac35,\frac23 \\
\end{array}$$
(Si quieres ejemplos de fracciones mayores que $1$, a su vez, cada una de las fracciones del revés. Cada una de las desigualdades entre las fracciones que va a cambiar de dirección, para que usted todavía tiene un conjunto completo de ejemplos).
Edit: mirando en ese segmento del vídeo, es posible (no muy claro) que lo que han estado diciendo que es equivalente a la siguiente afirmación, que es cierto: si tienes dos fracciones $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$$a > b$$c > d$, y si $a - b < c - d$ e $b > d$ ,$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$. Prueba:
$$\frac{a}{b} = 1 + \frac{a-b}{b} < 1 + \frac{c-d}{b} < 1 + \frac{c-d}{d} = \frac{c}{d}$$
Con fracciones de menos de $1$, la correspondiente declaración con la que si tiene dos fracciones $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$$a < b$$c < d$, y si $b - a < d - c$ e $b > d$ ,$\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$:
$$\frac{a}{b} = 1 - \frac{b-a}{b} > 1 - \frac{b-a}{d} > 1 - \frac{d-c}{d} = \frac{c}{d}$$
Pero estos son tantas las condiciones en la hipótesis de que me pregunto con qué frecuencia va a ser útil.
