$\textbf{Definition}$
Una categoría $\mathscr{C}$ es completo si cada (covariante) functor $F:\mathscr{D}\rightarrow \mathscr{C}$ tiene un límite de con $\mathscr{D}$ una categoría pequeña.
Deje $\mathscr{C}$ ser toda una categoría. Entonces, ¿es cierto que $\mathscr{C}$ es un conjunto preordenado si $\mathscr{C}$ es pequeña? (Por lo que el término "completar la categoría de" sólo es importante para las grandes categorías.)
Suponga que $\mathscr{C}$ es pequeña. Ahora tome $\mathscr{D}$ como el discreto categoría cuyos objetos son flechas en $\mathscr{C}$. Tomar dos objetos de $C_1,C_2$ $\mathscr{C}$ y supongamos que hay dos morfismos $f,g:C_1\rightarrow C_2$. Deje $\Delta_{C_2}:\mathscr{D}\rightarrow \mathscr{C}$ (covariante) constante functor. Desde $\mathscr{C}$ es pequeña y completa, no existe el límite de $L$ de esta constante functor. Sin embargo, puesto que hay dos morfismos $f,g:C_1\rightarrow C_2$, podemos construir $2^{|\mathscr{D}|}$ distintos conos, por lo tanto $2^{|\mathscr{C}|}$ distintos morfismos de$C_1$$L$. Ya que hay sólo $|\mathscr{D}|$ morfismos en $\mathscr{C}$, esto es una contradicción. En consecuencia, si $\mathscr{C}$ es pequeña, entonces es simplemente un conjunto preordenado.
Mi argumento es correcto?
