Hay un número finito de grupo abelian $G$ tal que el producto de las órdenes de todos sus elementos es $2^{2013}$?

Question

Hay un número finito de grupo abelian $G$ tal que el producto de las órdenes de todos sus elementos es $2^{2013}$? Claramente, podemos asumir que la Estructura Teorema para finitos abelian grupos.

Editado más Tarde: Todo lo que sé en este momento es, todos los elementos deben tener el pedido en el formulario de $2^n$, y el tamaño del grupo debe ser en ese formulario, y $|G|\leq{2^{10}}=1024\leq{2014}$

Answer 1

La respuesta es no, pero la solución es algo que participan.

Dado un número finito de grupo abelian $G$, vamos a $T_n(G)=\{g\in G | ng=0 \}$ el valor del $n$-torsión de $G$. Deje $T(G)$ ser la secuencia infinita cuyo $n$th entrada es $\log_2 |T_{2^n}(G)|$. Vamos a llamar a una secuencia infinita de enteros no negativos admisible si es de la forma $T(G)$ para algunos finito grupo abelian $G$ con orden una potencia de $2$. Nuestro principal resultado es el siguiente.

Teorema: Una secuencia es válida si y sólo si a es acotado, no decreciente, y la diferencia entre los sucesivos elementos no creciente. En símbolos, $(b_1,b_2,\ldots)$ $b_i\in \mathbb Z$ es admisible si, establecimiento $b_0=0$, $b_i\geq 0, 0\leq b_{i+1}-b_i\leq b_i-b_{i-1}$ todos los $i\in \mathbb N$.

Vamos a utilizar el teorema para resolver el problema. Supongamos que $G$ es un grupo de orden una potencia de $2$ tal que $T(G)=(b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, b_n, b_n, b_n, \ldots)$ donde $b_n \neq b_{n-1}$. Set $b_0=0$. A continuación, el número de elementos de a $G$ orden $2^k$$2^{b_k}-2^{b_{k-1}}$, y así

$$\prod_{g\in G} o(g)=\prod_{i=1}^n (2^i)^{2^{b_k}-2^{b_{k-1}}}=2^{n2^{b_n}-\sum_{i=0}^{n-1}2^{b_i}}. $$

Nuestra pregunta se convierte en si no es admisible secuencia descrita tal que

$$2013 = n2^{b_n}-\sum_{i=0}^{n-1}2^{b_i}.$$

Vamos a asumir que hay y derivar una contradicción. Las condiciones en nuestra secuencia implica que es estrictamente creciente hasta $b_n$, y así el término $\sum 2^{b_i}<2^{b_n}$. Por lo tanto,

$$(n-1)2^{b_n}<2013<n2^{b_n},$$

y si tuviéramos el valor de $b_n$, debemos tener

$$n=\lceil \frac{2013}{2^{b_n}} \rceil. $$

Además, puesto que el $b_i$ son todos distintos (arriba a través de $b_n$), si escribimos $n2^{b_n}-2013$ en binario, el resultado debe tener exactamente $n$ $1$'s en ella.

Desde $b_n \geq n$, no podemos tener a $b_n \leq 7$. Si $b_n>10$,$n=1$. Sin embargo, ya hemos $b_0=0$, tendríamos $2^{b_n}=2013+1$, que no tiene ningún número entero de soluciones. Por lo tanto, cualquier solución tendría $b_n=8, 9$ o $10$, en cuyo caso tenemos $n=8, 4$ o $2$ respectivamente. En los tres casos, hemos $$n2^{b_n}-2013=35=1+2+32,$$

y así tendríamos que tener $n=3$. Sin embargo, esto no ocurre en ninguno de estos casos.

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La prueba del teorema se puede hacer a través de una serie de en su mayoría de fácil lemas y cálculos. Las pruebas de la mayoría de ellos se ha omitido intencionalmente. En lo que sigue, todos los grupos que se asumen para ser finito y abelian, y después de que el primer lema, que también supuso el fin de un poder de $2$. $G$ y $H$ indican los grupos, todas las secuencias serán infinitas secuencias de enteros no negativos. Sumas de secuencias indican componente sabio adición. $C_n$ indican que el grupo cíclico de orden $n$.

Lema: $|T_n(G\times H)|=|T_n(G)| \cdot |T_n(H)|$

Lema: $T(G\times H)=T(G)+T(H)$

Definición/cálculo de $A_n:=T(C_{2^n})=(1,2,3, \ldots, n, n, n, \ldots)$, es decir, $A_n(i)=\min(n,i)$.

Definición: Una partición no es el aumento de la secuencia que eventualmente es cero. Vamos a menudo se omite el cero términos y escribir una partición como una finito, no-aumento de la secuencia. Asociado a la partición de $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots)$, tenemos un Joven Diagrama, que es una colección de justificados a la izquierda cuadrados (o puntos dispuestos en un cuadrado de celosía tipo de configuración) donde tenemos una caja en la posición $(i,j)$ si y sólo si $\lambda_i\geq j$. El conjugado de a $\lambda$ es la partición de $\lambda^*=(\lambda_1^*, \lambda_2^*, \ldots)$ de manera tal que el $i$th fila de la Joven diagrama asociado a $\lambda^*$ tiene la longitud de la $i$ésima columna del diagrama asociado a $\lambda$. Por ejemplo, el conjugado de la partición $(4,2,2)$$(3,3,1,1)$. El enlace para ver fotos y una descripción más completa.

Por la estructura teorema de finitely generado abelian grupo, si $|G|$ es una potencia de $2$, podemos escribir $G=\prod C_{2^{\lambda_i}}$ para una única partición $\lambda$. Por nuestros lemas, $T(G)=\sum A_{\lambda_i}$.

Lema: Usando la notación de los dos párrafos anteriores, $$\sum A_{\lambda_i}=(\lambda_1^*, \lambda_1^* + \lambda_2^*, \ldots, \sum_{i=1}^n \lambda_i^*, \ldots).$$

Para una prueba, dibujar un Joven diagrama.

Sketch de prueba del Teorema: Por el lema, admisible secuencias son exactamente las sumas de $A_i$'s. Además, tenemos el mapa envío de una partición a su conjugado y el mapa envío de una partición a un no-disminución de la secuencia con los no-el aumento de las diferencias de $(\lambda_i)\mapsto (\sum_{i=1}^n \lambda i)$ son tanto invertable.

Answer 2

La siguiente respuesta se basa en el teorema fundamental para finitely generado abelian grupos. Si usted nunca ha oído hablar de él, entonces no entiendo por qué esta idea general de las obras.

$\mathbb{Z}_2^{11}=\mathbb{Z}_2\times\cdots\mathbb{Z}_2$ da $2^{2047}=2^{2^{11}-1}$. Puede usted ver por qué esto es así? (Sugerencia: powersets.) Luego quiere ver lo que sucede cuando usted eliminar algunas de las $\mathbb{Z}_2$s y agregar en un $\mathbb{Z}_4$ o $\mathbb{Z}_8$, y así sucesivamente.

Por ejemplo, $\mathbb{Z}_2^n\times\mathbb{Z}_8$ da $2^{2^{n}\times 18-1}=2^{4\times3\times 2^n+2\times2\times 2^n+1\times 2^n+(2^n-1)}$ (de pareja cada elemento de orden 1 o dos obtenidos a partir de la $\mathbb{Z}_2^n$, $2^{n}$ de ellos por encima, con cada uno de los poderes de la $\mathbb{Z}_8$), el cual nunca puede igualdad de $2^{2013}$! Entonces, ¿qué acerca de la $\mathbb{Z}_2^n\times\mathbb{Z}_4$? Intenta :-)