Cómo conceptualizar "dividir" un número (por ejemplo, en las permutaciones, Teorema de Bayes)?

Question

Estoy tratando de lograr una mejor concepción de lo que significa "dividir" una variable/número, porque soy de los que actualmente tienen un montón de problemas para justificar a mí mismo por qué funciona realmente la forma en que se hace en ciertos contextos. Me disculpo si esto es demasiado de una elemental pregunta, pero me parece que no puede llegar a una conclusión satisfactoria.

Entiendo que la división en el contexto de explícita de números, pero aquí (ver pg. 3) es un ejemplo de donde me confundo:

"por lo que el número de maneras de seleccionar r objetos y haciendo caso omiso de todas las permutaciones de los restantes $(n − r)$ objetos no elegido es dividir el no deseados permutaciones:

No. de permanentes. $= \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times···\times (n − r) \times (n − r + 1) \times··· \times(n − 1) \times n}{1 \times 2 \times 3 \times··· \times (n − r)}$"

Así que, básicamente, ¿por qué este trabajo, y cómo iba a explicar a un inteligente niño de 5 años?

Del mismo modo, ¿qué significa "dividir" $P(B)$ en la clásica representación del Teorema de Bayes, es decir,

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$?

Answer 1

Mira el número de permutaciones de $3$ de las cosas de la $5$. Llame a los cinco cosas $ABCDE$. $$ \begin{array}{c|c|ccc} \overbrace{\begin{array}{cccc} ABC & ACB & ADB & AEB \\ ABD & ACD & ADC & AEC \\ \underbrace{ABE}_B & \underbrace{ACE}_C & \underbrace{ADE}_D & \underbrace{AED}_E \end{array}}^{\text{comenzando con $A$}} & \overbrace{\begin{array}{cccc} BAC & BCA & BDA & BEA \\ BAD & BCD & BDC & BEC \\ \underbrace{BAE}_A & \underbrace{BCE}_C & \underbrace{BDE}_D & \underbrace{BED}_E \end{array}}^{\text{comenzando con $B$}} & \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array} $$ Cuando los tres se enumeran en orden, la primera de ellas podría ser $A$ o $B$ o $C$ o $D$ o $E$. Cinco opciones. Sólo dos son mencionados anteriormente, pero se puede ver lo que los otros tres. Dentro de cada uno de aquellos, el segundo puede ser de cualquiera de los cuatro. Y la tercera puede ser cualquiera de los tres. Por lo que el número total de permutaciones en la lista es $5\times 4\times3= 60$.

Así que lo que si queremos combinaciones en lugar de permutaciones. Observe que una de las permutaciones de arriba es $BEC$. En el número de pedidos que puede $BEC$ estar en la lista? Aquí están: $$ \overbrace{AC\quad BEC}^\text{comenzando con $B$} \quad \overbrace{CBE\quad CEB}^\text{comenzando con $C$} \quad \overbrace{EBC\quad BCE}^\text{comenzando con $E$} $$ Se enumeran $3\times2\times1=6$ veces. Eso significa que esta combinación se incluyen $6$ veces en el primer lugar de la lista de arriba. Cada combinación se incluyen $6$ veces. Se divide la longitud de la primera lista por $6$: $$ \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1} = \frac{60}{6} = 10. $$ En otras palabras, el número de combinaciones es $10$.

Answer 2

No voy a intentar explicar esto a un ingenioso $5$ año de edad; pero de todos modos, usted (tácitamente) en busca de la siguiente definición/teorema de par.

Definición. Deje $X$ denotar un conjunto conjunto no vacío. Entonces, dada una relación de equivalencia $\sim$$X$, llame a $\sim$ regular iff existe un número natural $n$ tal que para todos los $x \in X,$ el celda correspondiente $x^\sim$ tiene cardinalidad $n$.

Si $\sim$ es regular, escribir $|\!\sim\!|$ para la cardinalidad de cualquier (y por lo tanto, cada célula de $\sim$.

POSIBLE FUENTE DE CONFUSIÓN: El número de $|\!\sim\!|$ suele ser distinto del número de $|X/\!\sim\!|$, que es el número de celdas que corresponden a las $\sim$. Sin embargo, estos números están lejos de independiente:

Teorema. Deje $X$ denotar un conjunto conjunto no vacío y $\sim$ denotar una regular relación de equivalencia en $X$. Entonces: $$|X/\!\sim\!| = |X|/|\!\sim\!|$$

Podemos aplicar esto a tu ejemplo de la siguiente manera. Dado un conjunto $X$ y los números cardinales $b$$a$, escribir $\Pi_S(b,a)$ para el subconjunto de $\mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X)$ da de la siguiente manera:

$(B,A) \in \Pi_X(b,a)$ fib:

• $|B| = b$
• $|A| = a$
• $\{B,A\}$ particiones $X$.

Estamos tratando de mostrar que:

Teorema. Si $X$ es un conjunto finito y $b,a$ son los números cardinales con $b+a = |X|$, entonces: $$|\Pi_X(b,a)| = \frac{|\mathrm{Lo}(X)|}{\mathrm{Lo}(b)\mathrm{Lo}(a)}$$

donde defino $\mathrm{Lo}(X)$ como el conjunto de lineal órdenes de $X$, e $\mathrm{Lo}(b)$ como el número de maneras de ordenar linealmente alguna (y por lo tanto todos) establecer con $b$ elementos. Por supuesto, tenemos el secreto de saber que $\mathrm{Lo}(b) = b!$, pero esto es realmente irrelevante para el argumento que sigue:

Prueba. Revisión $X$, $b$ y $a$. Hay una función de $\pi^b : \mathcal{P}(X) \leftarrow \mathrm{Lo}(X)$ que toma un lineal de orden de $X$ para el conjunto de todos los elementos en la final $b$-largo tramo, y otra función $\pi_a : \mathcal{P}(X) \leftarrow \mathrm{Lo}(X)$ que toma un lineal de orden de $X$ para el conjunto de todos los elementos en la inicial $a$-largo tramo. Esto da lugar a una función:

$$\langle \pi^b,\pi_a\rangle : \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \leftarrow \mathrm{Lo}(X)$$

Resulta que esta asignación ha de imagen igual a $\Pi_X(b,a)$. Por lo tanto:

$$|\Pi_X(b,a)| = \left|\frac{\mathrm{Lo}(X)}{\mathrm{coimg}(\langle \pi^b,\pi_a\rangle)}\right|$$

También resulta que la relación de equivalencia inducida en $\mathrm{Lo}(X)$, es decir, $\mathrm{coimg}(\langle \pi^b,\pi_a\rangle),$ es regular. Por lo tanto:

$$|\Pi_X(b,a)| = \frac{|\mathrm{Lo}(X)|}{|\mathrm{coimg}(\langle \pi^b,\pi_a\rangle)|}$$

De hecho, podemos encontrar el número de elementos en cualquier (y por lo tanto, cada célula de esta particionado de forma explícita:

$$|\mathrm{coimg}(\langle \pi^b,\pi_a\rangle)| = \mathrm{Lo}(b)\mathrm{Lo}(a)$$

Por lo tanto:

$$|\Pi_X(b,a)| = \frac{|\mathrm{Lo}(X)|}{\mathrm{Lo}(b)\mathrm{Lo}(a)}$$

Edit. Otra manera de formular este argumento es con la noción de una $k$-bijection, ver mi respuesta aquí.