Cuál es el radio del círculo

Question

Hay dos círculos $C_1$ y $C_2$ . El radio del círculo $C_1 = r$ y el área de $C_1 = s$ . El centro del círculo $C_2$ se encuentra en la frontera del círculo $C_1$ . El área de la intersección de los dos círculos es $s/2$ .

Cuál es el radio del círculo $C_2$ ?

Answer 1

Esto se conoce como el Problema de la cabra .

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Para simplificar, podríamos establecer $r=1$ y $s=\pi r^2=\pi$ y suponemos que el radio de $C_2$ es $R$ . Utilizando la fórmula de http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html :

\begin{align} \text{area of intersection} &= r^2\cos^{-1}\frac{d^2+r^2-R^2}{2dr} + R^2\cos^{-1}\frac{d^2+R^2-r^2}{2dR} \\ &\quad - \frac{\sqrt{(-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)}}2 \end{align}

con $r=1$ y $d=1$ (ya que el centro de $C_2$ está en la circunferencia de $C_1$ ) llegamos a resolver

$$ R^2 \cos^{-1} \frac R2 + \cos^{-1}\left(1-\frac{R^2}2\right) - \frac{R\sqrt{4-R^2}}2 = \frac\pi2 $$ que no tiene una solución de forma cerrada. La solución numérica es $$ R=1.15872847301812151782823355653641924698\dotsc \times r.$$