Los desplazamientos de las matrices y simultánea diagonalizability

Question

Es un hecho conocido de álgebra lineal que si un conjunto de matrices es de a pares conmutable, a continuación, que son al mismo tiempo diagonalizable. Un problema en el libro que actualmente estoy estudiando pide para probar esta afirmación utilizando la teoría de la representación. Específicamente

Si $G = \{M_1,\ldots,M_k\}$ es un abelian subgrupo de $\rm{GL}_d(\mathbb{C}).$ ¿Cómo se puede utilizar la teoría de la representación para demostrar que las matrices en $G$ son simultáneamente diagonalizable?

Answer 1

Esto es más de álgebra lineal de la teoría de la representación. Una prueba es de notar que todas las matrices $g$ en un subgrupo finito $G$ $\mathrm{GL}_n(\Bbb C)$ son diagonalisable, por si $m$ es el orden de $G$, $$g^m=\mathrm{id}.$$ Es decir, todos los elementos de a $G$ tiene un annihiliating polinomio con sólo simples raíces, $X^m-1$. Si $G$ es abelian, entonces te resultado citado muestra que son simultáneamente diagonalisable.

Si desea utilizar la "teoría de la representación", que podría invocar el hecho de que todos los irreductible complejo de representaciones de un grupo abelian son unidimensional, y completa reducibilidad de complejo de representaciones de grupos finitos. Pero esto es una consecuencia del resultado anterior (la abelian parte lo es). El primer párrafo de mi respuesta es, de hecho, la prueba de este hecho para abelian grupos.