Usted puede hacerlo, si se le permite hacer transformaciones de coordenadas. En este caso se puede hacer si
- Cualquiera de las $A$ tiene distintos valores propios, o
- Si $A$ tiene un repetidas autovalor, luego de que el autovalor sólo tiene un vector propio.
Bajo estas condiciones, usted puede transformar a la forma
$$
\pmatrix{0&1&0& \cdots &0 \\0&0&1&\cdots &0\\ 0&0&0&\ddots&0\\0&0&0&\cdots &1\\
-d_1&-d_2&-d_3&\cdots & -d_n}$$
Una forma de encontrar la transformación, es empezar con un vector de $b$ y el cálculo de $A b$, $A^2b$ a través de $A^{n-1}b$. A continuación, la matriz de transformación está dada por
$$
T=\pmatrix{b &b &A^2 b& \cdots & A^{n-1}b } \tag 1$$
Se puede demostrar que bajo las suposiciones, existe un $b$, de modo que la matriz es invertible.
Añadido en respuesta a los comentarios
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- Un sistema de $n$ de primer orden de la ecuación diferencial lineal de la forma $dX/dt = A X$ pueden ser convertidos a $$
\frac{d^n i}{d t^n} + a_1 \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}} + a_2 \frac{d^{n-2} y}{d t^{n-2}}\cdots + a_0 = 0$$
- Existe un no-vector cero, $c$, por lo que la matriz de $Q$ se define a continuación tiene rango completo
$$
Q = \pmatrix{c \\c \\\vdots\\ c^{n-1} }$$
- Existe un vector $b$, de modo que la matriz de $T$ definido en (1) es de rango completo.
- El polinomio mínimo de a $A$ es igual a su polinomio característico
- Las dos condiciones mencionadas al inicio de su respuesta mantenga
Se refieren a cualquier estándar de Control Moderna Teoría de libro para una prueba de lo anterior. El requisito para $T$ completo rango se llama la capacidad de control de la condición y el requisito de que $Q$ ser completo rango se llama observabilidad condición.
En particular, si $A=\pm I$, la matriz de identidad y $n>1$ $A$ no cumple la condición anterior y, por tanto, no es posible transformar $X'= \pm X$.
