Cómo ver que SL(2,C) es simplemente conectado?

Question

Empecé a leer sobre la Mentira de grupos y ahora estoy tratando de entender por qué $SL(2,\mathbb{C})$ es simplemente conectado. Me han demostrado que $SU(2)$, siendo diffeomorphic a $S^3$, es simplemente conectado. Así que mi primer pensamiento es para la construcción de una deformación retractarse de $SL(2,\mathbb{C})$ a $SU(2)$.

Sabemos que mediante la descomposición polar, cada elemento de a $g \in SL(2,\mathbb{C})$ puede ser escrito como $u_g.x_g,$ donde $u_g \in SU(2)$ $x_g$ es positivo semi-definida auto-adjunto elemento de $SL(2,\mathbb{C})$. Y puesto que la descomposición polar es única, se puede definir de inmediato nuestra retracción mapa de como seguir $$r : SL(2,\mathbb{C}) \longrightarrow SU(2)$$ $$g \mapsto u_g$$ Let $\iota: SU(2) \hookrightarrow SL(2,\mathbb{C})$ be the inclusion map. Now I have trouble constructing a homotopy between $\iota \circ r$ and the identity map on $SL(2,\mathbb{C})$ . Cualquier sugerencia?

Otro enfoque que tengo es para mostrar que $SL(2,\mathbb{C})$ es diffeomorphic a $S^3 \times M$ donde $M$ $3-$ dimensiones suave colector definido por $\left \{ (x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2=1 \right\}$. De nuevo la construcción de la diffeomorphism es fácil, tomando ventaja de la unicidad de la descomposición polar de $g\in SL(2,\mathbb{C})$. Así que para mostrar que $SL(2,\mathbb{C})$ es simplemente conectado ahora sólo es necesario demostrar que la $M$ es simplemente conectado. Pero yo no veo ninguna manera fácil para probar que esto es cierto!

De todos modos, para resumir, tengo 2 preguntas:

1. Cómo mostrar $\iota \circ r$ es homotópica a la identidad mapa en $SL(2,\mathbb{C})$?
2. ¿Por qué es $M$ simplemente conectado?

Cualquier insight/sugerencia sería muy apreciada!

Answer 1

1) Lo que quiero hacer es el uso de Gram-Schmidt para ello. Considere las matrices de $(a_1, a_2)$, donde el $a_i$ son vectores columna. Las bacterias Gram-Schmidt proceso reemplaza esta matriz con $\left(u_1 := a_1/\|a_1\|, \frac{a_2-\text{proj}_{u_1}a_2}{\|a_2-\text{proj}_{u_1}a_2\|}\right)$. Este es un retraer $SL_2(\mathbb C) \to SU(2)$. Queremos reemplazarlo con una deformación retractarse. Así que vamos a hacer cada uno de estos pasos de forma continua; considerar en primer lugar $f_t(a_1, a_2) = (a_1/\|a_1\|^t, a_2\cdot \|a_1\|^t)$. Este permanece en $SL_2(\mathbb C)$ todos los $0 \leq t \leq 1$, e $f_1(a_1,a_2)$ tiene un vector unitario en la primera columna. Ahora considere el $g_t(a_1, a_2) = (a_1, a_2-t\text{proj}_{a_1} a_2)$. Ya estamos restando un escalar varios de la primera columna de nuevo, esto $SL_2(\mathbb C)$ todos los $t$. La concatenación de estos dos mapas le da un homotopy de la identidad de las bacterias Gram-Schmidt retraer $SL_2(\mathbb C) \to SU(2)$.

Esto es cierto en el absurdo generalidad. Primero de todos, el mismo argumento se aplica a demostrar que $GL_n(\mathbb C)$ deformación se retrae en $U(n)$, e $SL_n(\mathbb C)$$SU(n)$, y lo mismo es cierto de sus homólogos reales. Pero podemos hacer mucho mejor que eso: la Malcev-Iwasawa teorema dice que para cualquier localmente compacto grupo $G$, $G$ la deformación se retrae en su máxima compacto subgrupo $K$ (que existe y es única hasta conjugacy). De hecho hay algo de $n \in \mathbb N$ tal que $G$ es homeomórficos a $K \times \mathbb R^n$. Esto incluye, en particular, se encuentran todos los grupos; me parece recordar que en la Mentira de grupo en caso de que usted está realmente diffeomorphic a $K \times \mathbb R^n$ pero no recuerdo una referencia.

En su segundo enfoque: el subconjunto $M = \{x \in \mathbb R^4 \mid x_1^2 - x_2^2-x_3^3 - x_4^2 = 1, x_1>0\}$ es diffeomorphic a $\mathbb R^3$, el mapa se $\mathbb R^3 \to M, x \mapsto (\sqrt{1+\|x\|^2},x)$. Estos son conocidos como Weierstrass coordenadas. De hecho, su $M$ es mejor conocido como el hyperboloid modelo hiperbólico de 3-espacio; si pones el derecho semi-métrica de Riemann en $\mathbb R^4$, entonces la restricción de a $M$ le da la métrica hiperbólica.

Cualquier acercamiento con éxito muestra que $SL_2(\mathbb C)$ es simplemente conectado.