Encontrar el espectro del operador lineal $T: \ell^2 \to \ell^2$ definido por $Tx=(\theta x_{n-1} +(1-\theta)x_{n+1})_{n\in \mathbb{Z}}$

Question

Deje $\ell^2 =\ell^2(\mathbb{Z})$. Elija $\theta \in ]0,1[$:

$$Tx=(\theta x_{n-1} +(1-\theta)x_{n+1})_{n\in \mathbb{Z}}$$

para cada una de las $x=(x_n)_{n\in \mathbb{Z}}\in \ell^2$ (lo $T$ es una combinación convexa de la derecha y la izquierda operadores de desplazamiento).

Es fácil probar que, para cada $\theta$, $T$ es un delimitada lineal operador de $\ell^2$ dentro de sí mismo, que $\lVert T\rVert =1$ y $T$ es selfadjoint iff $\theta =\ frac{1}{2}$. Por otra parte $T$ no es compacto: de hecho, si $e^m:=(\delta_n^m)$ (por lo $e^m$ es un vector de la base canónica de $\ell^2$), se tiene:

$$|Te^m -Te^p|^2=\begin{cases} 0 &\text{, if } p=m \\ \theta^2 +(1-\theta)^2+1 &\text{, if } m=p+2 \text{ or } p=m+2 \\ 2\theta^2+2(1-\theta)^2 &\text{, otherwise} \end{cases} \; ,$$

por lo tanto $|Te^m-Te^p|^2> \theta^2+(1-\theta)^2>0$$m\neq p$; por lo tanto, la secuencia de $\{ Te^m\}_{m\in \mathbb{N}}$ no contiene ninguna de Cauchy es larga.

El problema es:

Yo no soy capaz de encontrar el espectro de $T$.

Acerca de los valores propios, la única cosa que sé con certeza es que el $1$ no está en el punto de espectro de $T$ para cualquier valor de $\theta$: de hecho si $1$ estaban en el punto de espectro $\sigma_P(T)$, entonces los vectores propios iba a satisfacer, la recurrencia lineal:

$$x_n=\theta x_{n-1}+(1-\theta) x_{n+1} \; ,$$

por lo tanto tienen que ser las secuencias del tipo:

$$x_n=A \left( \frac{\theta}{1-\theta}\right)^n +B$$

($A,B$ adecuado constantes); pero, en una secuencia como esta no pertenece a $\ell^2$, salvo en el caso trivial $A=B=0$, que sin embargo no le válido autovector. Por lo tanto,$1\notin \sigma_P(T)$.

Pero ahora, ¿qué otros valores propios? ¿Y qué acerca de los residuos y los espectros continuos de $T$?

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Para determinar el espectro de $T$, primero vamos a determinar el de la derecha mayús $\tau$. Desde $||\tau||=1$, $\mathrm{Sp}(\tau) \subset \bar{B}(0,1)$. Pero lo mismo va para el desplazamiento a la izquierda en $\tau^{-1}$, lo $\mathrm{Sp}(\tau) \subset C(0,1)$. En realidad, es igual a $C(0,1)$: $(\ldots,0,1,\lambda,\lambda^2,\ldots,\lambda^n,0,\ldots)$ es un "casi vector propio".

Para cada $c \in \mathbb{C}^{\times}$, $(c \theta \mathrm{Id} - \tau)(c (1-\theta) \mathrm{Id} - \tau^{-1}) = (1+c^2 \theta (1-\theta)) \mathrm{Id} - cT$, por lo $f(c)=\frac{1+c^2 \theta (1-\theta)}{c} \in \mathrm{Sp} (T)$ fib $c \theta \in \mathrm{Sp}(\tau)$ o $c (1- \theta) \in \mathrm{Sp}(\tau^{-1})$ fib $|c|=\theta^{-1}$ o $(1-\theta)^{-1}$.

Ahora $f(\mathbb{C}^{\times})=\mathbb{C}$, e $f(\theta^{-1} (1-\theta)^{-1} c^{-1})=f(c)$, lo $\mathrm{Sp}(T)= \left\{ f(\theta e^{i \alpha}) \right\} = \left\{ \cos \alpha + i (1-2 \theta) \sin \alpha \right\}$ que es un botón de puntos suspensivos (plana al $\theta=1/2$).

EDIT: es fácil comprobar que para todos los $\lambda$, $\lambda \mathrm{Id} - \tau$ es inyectiva y tiene densa gama, de ahí que el mismo es cierto para $T$.