Es el siguiente límite correcto? $[\lim_{n\to\infty}\binom{n}{50}(\frac2n)^{50}(1-\frac2n)^{n-50}]$

Question

$$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{50}\left(\frac2n\right)^{50}\left(1-\frac2n\right)^{n-50}$$

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Tomando $nh=1$$K=\binom{n}{50}\left(\frac2n\right)^{50}\left(1-\frac2n\right)^{n-50}$, tenemos: $$\ln K =\ln\left[\binom{n}{50}(2h)^{50}\right]+(1-50h)\frac{\ln(1-2h)}h \\=\ln\left[\frac{2^{50}}{50!}\prod_{k=1}^{49}(1-kh)\right]+(1-50h)\frac{\ln(1-2h)}h$$ Ahora creo $$\lim_{n\to\infty}K=\frac{2^{50}}{50!}\frac1{e^2}$$ Es esta la forma correcta de solucionar esto? Es mi respuesta correcta?

Edit: he observado que: $$\left(\frac2n+1-\frac2n\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\underbrace{\binom{n}{k}\left(\frac2n\right)^{k}\left(1-\frac2n\right)^{n-k}}_{t_k}$$ Como $n\to\infty$, LHS es exactamente 1 y tenemos que encontrar el minuto contribución de $t_{50}$.

Answer 1

Me gustaría enfoque de este uso de los dos siguientes sugerencias.

Sugerencia 1: $$ \binom{n}{50}\left(\frac2n\right)^{50} =\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-49}{n}\frac{2^{50}}{50!}\\ $$ Sugerencia 2: $$ \left(1-\frac2n\right)^{n-50} =\left(1-\frac2n\right)^n\left(1-\frac2n\right)^{-50}\\ $$