La integral que se trata es de lo que se denomina transformada de Fourier - un importante tipo de transformación integral. La transformación se define, como en el enlace, para funciones de $g\in L^1(\mathbb R^n)$, por lo tanto la hipótesis de $f \in L^1(\mathbb R^n)$.
El intercambio de derivada e integral puede ser justificado - al menos en la simple $1$-dimensional caso - con la regla de Leibniz, que también puede extenderse a la $\mathbb R^d$ de los casos. Otra sería la referencia Real de un Análisis de las Técnicas Modernas y Sus Aplicaciones por Gerald B. Folland que los estados (no recuerdo las palabras exactas):
Deje $(X,M, \mu)$ ser una medida en el espacio y el $f ∶ X \times [a, b] \mapsto \mathbb C, (−\infty < a < b < \infty)$, y
$f (\cdot,t) ∶ X \mapsto \mathbb C$ es integrable para todos los $t\in [a, b]$. Conjunto de más de $$F(t) = \int_X
f (x,t) d\mu(x).
$$
Si ahora suponemos que el $\frac{\partial f}{\partial t}$
- existe
- y $\exists g\in L^1(\mu)$ tal que $\forall t,x:\big\lvert\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\big\rvert\leq g(x)$
a continuación, $F$ es diferenciable y que nos puede intercambiar el orden de integración y diferenciación y escribir
$$
F^{'}(t)=\int_X\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)d\mu(x)$$
En su caso se necesita también el $\frac{\partial f}{\partial t}\in L^1$ a justificar la existencia de la transformada de Fourier.
EDIT: para aclarar por qué se cumplen las condiciones de la 1-dimensional caso, se puede generalizar esta con un poco de esfuerzo para dimensiones superiores y diferenciales
Tenemos para $f(x)\in L^1$
$$
g(t,x)=\exp(-2\pi i xt)f(x) \text{ con } \partial_t g(t,x)=(-2\pi i)\exp(-2\pi i xt)xf(x)
$$
tenemos
$$
\lvert \partial_t g(t,x) \rvert=\lvert (-2\pi i)\exp(-2\pi i xt)xf(x) \rvert= 2\pi \lvert xf(x) \rvert
$$
Ya hemos asumido que $xf(x)\in L^1$ sabemos que la derivada está delimitado por un $L^1$ función y por lo tanto se puede intercambiar el orden de integración y diferenciación.
