División de un polinomio con $(x^2+1)^2$

Question

Me ha dado que un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales es divisible por $(x^2+1)$, y que al $f'(x)$ se divide por $(x^2+1)$, se obtiene un resto de $(x+1)$. Necesito demostrar que $2f(x)+(x-1)(x^2+1)$ es divisible por $(x^2+1)^2$.

Yo lo que hice fue expresar $f(x)$$f(x)=(x^2+1)g(x)$, para algún polinomio $g$ (1),y $f'(x)=((x^2+1))q(x) + (x+1)$, para algún polinomio $q$ (2). A partir de (1) deduje otra expresión de la $f'(x)$, (3): $$f'(x)=(x^2+1)g'(x) + 2x(g(x))$$ Yo, a continuación, expresó la expresión dada como: $$2f(x)+(x-1)(x^2+1) = 2(x^2+1)g(x) + (x-1)(x^2+1)$$ (4) Para encontrar una expresión para $g(x)$, que luego se equipara (2) y (3) anteriores, obtener $$ 2g(x) = (x^2+1)(q(x)-g'(x) + x+1)(1/x)$$

Dejando $(q(x)-g'(x) + x+1)(1/x) = h(x)$, he simplificado: $$2g(x)= (x^2+1)h(x)$$ entonces aquí me detuve, al darse cuenta de que $h(x)$ es tal vez ni siquiera un polinomio. Cualquier método alternativo o el adelanto de este uno será muy apreciada!

Answer 1

Puede utilizar la regla para un lineal factor que $a$ es una doble raíz, y $(x-a)^2$ un factor de $p(x)=0$ si y sólo si $p(a)=p'(a)=0$.

El uso de $a=i$ y $a=-i$. $(x-i)^2(x+i)^2=(x^2+1)^2$

Answer 2

Marca la respuesta es mejor que este, pero es posible continuar a lo largo de las líneas iniciales:

Desde $f'(x)=(x^2+1)g'(x)+2x g(x)$, $2x g(x)$ tiene el mismo resto $(x+1)$ cuando se divide por $x^2+1$ no $f'(x)$. Es decir, $$ 2xg(x)=h(x)(x^2+1)+x+1 $$ para algunos polinomio $h$. Mediante el establecimiento $x=0$, podemos ver que $h(0)=-1$; por lo tanto $h(x)=xk(x)-1$ por algún otro polinomio $k$. Así \begin{align} 2xg(x)&=(xk(x)-1)(x^2+1)+x+1\\ &=xk(x)(x^2+1)-x^2+x \end{align} Dividiendo por $x$ da $$ 2g(x)=k(x)-(x-1) $$ que al multiplicar por $(x^2+1)$ los rendimientos de la deseada relación.