La extensión algebraica dice que todo elemento del campo de extensión E del campo F es algebraico sobre F. Pero esa es también la definición de cierre algebraico. Estoy confundido. Por favor, explique la diferencia.
Veamos un ejemplo para ver la diferencia.
Dejemos que $F=\mathbb{Q}$ y considerar el campo de extensión $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.$ Entonces cualquier elemento $a+b\sqrt{2}\in E$ satisface el polinomio $f(x)=x^2-2ax+a^2-2b^2\in\mathbb{Q}[x]$ y por lo tanto vemos que $E$ es algebraico sobre $F$ .
Un cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ es una extensión algebraica $E$ de $\mathbb Q$ tal que todo polinomio en $E[x]$ tiene una raíz en $E$ . Consideremos el polinomio $x^2-3$ . Este polinomio no tiene raíz en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (puede comprobarlo utilizando la forma estándar de un elemento en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como en el caso anterior). De ello se desprende que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ no puede ser un cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ .
Nótese que hasta el isomorfismo (no canónico), los cierres algebraicos son únicos, por lo que a menudo nos referimos a el cierre algebraico de $F$ .
"Un cierre algebraico de Q es un campo E tal que todo polinomio en Q[x] tiene una raíz en E." No creo que eso sea suficiente. Todo polinomio en E[x] debería tener una raíz en E. Por tanto, el campo E no admite extensiones algebraicas.
Esto es muy antiguo pero parece que ha aparecido, así que para meter la nariz un poco: incluso la definición actual no es del todo correcta, tiene que decir también que $E$ es algebraico sobre el campo de tierra ( $\mathbb Q$ ). Por ejemplo, sin esta $\mathbb C$ contaría como $\bar{\mathbb Q}$ . Además, basta con que cada polinomio del campo base tenga una raíz en $E$ ; por supuesto, esto requiere una prueba.
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El cierre algebraico puede considerarse como "la mayor extensión algebraica posible".
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¿Qué es lo que no entendiste en es.wikipedia.org/wiki/Cierre algebraico ?
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No es también la definición de cierre algebraico. Es lo mismo que la diferencia entre una bolsa de manzanas, y una bolsa de todas las manzanas existentes.