$E/\mathbb F_q$ extensión del campo. Espectáculo $[\mathbb F_q(\alpha) : \mathbb F_q]$ es el más pequeño, $n$ la satisfacción de los bienes.

Question

Deje $q = p^m$. Supongamos que $E/\mathbb F_q$ es una extensión de campo y $\alpha \in E$ es algebraico sobre $\mathbb F_q$. Mostrar que $[\mathbb F_q(\alpha) : \mathbb F_q] =$ el menor entero positivo $n$ tal que $\alpha^{q^n} = \alpha$.

Cero Trabajo: hasta ahora veo que $\mathbb F_q$ es una división de campo de la $x^{p^m} - x \in \mathbb F_p$. De ello se desprende que $[E : \mathbb F_p] = [E : \mathbb F_q][\mathbb F_q : \mathbb F_p]$. Desde $\alpha \in E$ es algebraico sobre $\mathbb F_q$ $\mathbb F_q/\mathbb F_p$ es una extensión finita y por otra parte algebraica, se deduce que el $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb F_p$. También se puede demostrar que $\mathbb F_q = \mathbb F_p(\alpha)$, por lo que $$[E: \mathbb F_p] = [E : \mathbb F_p(\alpha)][\mathbb F_p(\alpha) : \mathbb F_p] = n[E : \mathbb F_p(\alpha)].$$ Moreover $[\mathbb F_q(\alpha) : \mathbb F_q] = [\mathbb F_q(\alpha) : \mathbb F_p(\alpha)]$.

Pero yo no estoy viendo ninguna de esta información lo que implica lo que yo quiero probar. Cualquier sugerencias, pruebas, sería apreciada.

Answer 1

Sugerencias:

1. $K=\mathbb{F}_q(\alpha)$ es una extensión del campo de $F=\mathbb{F}_q$ grado $n$ para algunos entero $n$. Por lo tanto,$|K|=q^n$, de modo que todos los elementos $x\in K$ son soluciones de la ecuación de $x^{q^n}=x$. Aquí $\alpha\in K$, lo $\ldots$
2. Si $\alpha$ es un cero de $f_k(x)=x^{q^k}-x$, $\alpha$ es en la división de campo de $E_k$ $f_k(x)$ [Editar: $F$ /Edit]. En consecuencia,$K\subseteq E_k$. Aquí $|E_k|=q^k$, por lo que lo hace que nos permite comparar la $n$$k$?

Answer 2

Sugerencia: (yo uso $p,q$, pero los que no son como en la pregunta) Si $\mathbb{F}_{q}/\mathbb{F}_{p}$ es un finito extensión de la dimensión $n$, entonces cada elemento de a $\alpha$ en $\mathbb{F}_{q}$ satisface $\alpha^{p^{n}}-\alpha=0$.

Usted debe ser capaz de encontrar una prueba fácilmente como se muestra en la la prueba de la singularidad de un campo finito.

Answer 3

En primer lugar, supongo que algunas cosas ya se sabe:

I. Un polinomio de grado $n$ puede tener en la mayoría de $n$ raíces en un campo.
II."Primer error:" $\alpha^q+\beta^q=(\alpha+\beta)^q$ en un campo finito de característica $p$ donde $q=p^n$.
III.Finito dimensionales extensiones de campos finitos son todavía finito campos.

Desde su $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb F_q$, cumple un polinomio irreducible $f(x)\in \mathbb F_q[x]$. Ahora, por II. sabemos que $f(x)^q=f(x^q)$$\mathbb F_q(\alpha)$. Así que, para cualquier $n$, $\alpha^{q^n}$ también es una raíz de $f(x)$. Si, para algunos $n, m<k$, donde $q^k=|F_q[\alpha]|$, $\alpha^{q^n}=\alpha^{q^m}$, luego, elevando ambos lados al $q^{k-m}$-ésima potencia, nos encontramos con que $\alpha^{q^{k+n-m}}=\alpha$, por lo que el $\alpha$ genera un campo finito de orden $\le q^{k+n-m}$, una contradicción. Por lo tanto el conjunto de $\{\alpha,\alpha^q\ldots,\alpha^{q^{k-1}}\}$ está contenida en el conjunto de ceros de $f(x)$, y es de cardinalidad $k$. Pero $f(x)$ es de grado $k$ por supuesto, así que, por I. nos encontramos con que $k=\text{deg}(f(x))$ es el entero más pequeño para que $\alpha^{q^k}=\alpha$. W. Z. B. W
Si esto es demasiado ambiguo, dígame, por lo que puedo mejorarlo.