Recurso de aclaración de un isomorfismo entre el $\operatorname{Aut}_c(G)$ $\operatorname{Hom}(G,Z(G))$

Question

Estoy leyendo un mayor papel por Jamali y Musavi.

En la segunda página es el siguiente proposición 2.2

He marcado fourplaces en rojo.

El primero parece un error tipográfico: ".. para cada $f$ $\operatorname{Hom}(G,Z(G))$ " tiene más sentido para mí.

El segundo ".. es un isomorfismo" - ¿por qué? El mapa es sin duda un bijection, pero un isomorfismo de las necesidades de grupos como el dominio y el rango y $\operatorname{Hom}(G,Z(G))$ es de ningún grupo. Lo que me estoy perdiendo?

La tercera dice:"..$\operatorname{Hom}(G,Z(G)) \cong \operatorname{Hom}(G/G',Z(G))$.." - de nuevo ¿por qué? No hay ningún grupo en cualquiera de los lados. Pero incluso si es sólo un bijection: es obvio?

Cuarto de interrogación: ¿qué implica esta conclusión?

En definitiva, estoy sin duda falta algo esencial - tal vez algo que es obvio y/o fácil? Puede usted decirme qué es? Gracias!!

Answer 1

Una cosa que sucede es esto:

Si $A$ es un grupo Abelian, y $G$ es un grupo, y $G'$ el colector de un subgrupo, a continuación,$Hom(G,A) \cong Hom(G / G', A)$, donde esto indica que el natural mapa de $\phi: Hom(G / G', A) \to Hom(G,A)$ (inducida por el mapa $G \to G / G'$) es un bijection.

Esto es sencillo:

Inyectividad de $\phi$ sigue, ya $G \to G / G'$ es surjective.

Surjectivity de $\phi$ sigue, porque si usted tiene alguna $G \to A$, debe ser cero en $G'$, y por lo tanto los factores a través de $G / G'$.

No estoy seguro sobre el resto. (¿Qué hace el subíndice $c$ $Aut_c$ indican?)