Por lo que puedo decir, este es el mejor descrito como un error en el texto, posiblemente introducida por el traductor. Estas declaraciones parecen ser ir a algunas contorsiones a estado todo en términos de la notación "$AB=a$", que no es usado en el original alemán (que se puede encontrar en formato pdf aquí). Esto es todo bastante mal hecho, y la explicación es tan vagos (¿qué significa "$AB=a$" en realidad significa y cómo se relaciona con "$A$ se encuentra en $a$"??) que iba a considerar que "no equivocado". En particular, usted está en lo correcto que las dos mitades de Axioma I,2 no tienen el mismo significado; la versión correcta de este axioma es la primera mitad, no la segunda mitad.
Así que, yo le aconsejaría que se ignoran por completo la segunda parte del Axioma I,2. Una más moderna de la presentación de estos dos axiomas (con sus significados previstos), junto con una definición de la notación $AB$ sería:
I,1. Para cualquiera de los dos puntos $A$$B$, existe una línea que contiene a ambas.
I,2. Una línea está determinada únicamente por dos puntos distintos que se encuentran en él. Es decir, si $A\neq B$ $a$ $b$ ambos contienen $A$$B$,$a=b$.
Si $A\neq B$, escribimos $AB$ para la línea única, que contiene tanto $A$$B$. (Existe una línea por I,1 y es único por I,2.)
He aquí algunas explicaciones sobre cómo incoherente y terrible de la presentación de los axiomas que se cita. Axioma I,1 es bastante ambiguo: ¿qué significa "completamente determinar"? Por la costumbre de inglés significado de esta frase, que podría incluir una declaración de la singularidad, por lo que parecería decir para cualquiera de los dos puntos $A$$B$, no hay una única línea que contiene a ambos. Pero si esta es la intención del significado, entonces el Axioma I,2 es totalmente redundante. Así, parece que a pesar de su fraseo, Axioma I,1 no es la intención de incluir cualquier afirmación de la singularidad (y, de hecho, otra de las presentaciones de los axiomas de Hilbert convertir Axioma I,1 en una declaración acerca de la existencia como tengo encima).
Para el significado de $AB=a$, no puedo pensar en tres interpretaciones razonables. Interpretación 1$AB=a$ " $A$ $B$ ambos se encuentran en $a$". Interpretación 2 es que $AB=a$ " $a$ es la única línea que contiene tanto $A$$B$". Interpretación 3 es que $AB=a$ es una noción primitiva, la definición de una función $f(\{A,B\})=AB$ a partir de pares no ordenados de puntos distintos a las líneas (y esta función es lo que se entiende por "completamente determinar").
Todas las tres de estas interpretaciones son problemáticos. Interpretación 1 activa la segunda mitad del Axioma I,2 en una consecuencia inmediata de la definición: si $AB=a$$AC=a$, luego, en particular, $B$ $C$ ambos se encuentran en $a$, lo $BC=a$. Interpretación 2 es bastante extraño si Axioma I,1 no es la intención de incluir una declaración de la singularidad, dado que la anotación $AB=a$ se presenta parte del Axioma I,1. Por otra parte, si el Axioma I,1 no incluye una singularidad declaración, la interpretación 2 hace que la segunda parte del Axioma I,2 inútil, porque no puede ser usado, a menos que usted ya sabe que $AB=a$ $AC=a$ y ningún axioma garantías de que esto nunca sucederá. Interpretación 3 hojas completamente misterioso de lo que esta noción primitiva $AB=a$ tiene que ver con la otra noción primitiva "$a$ contiene $A$", y, en cualquier caso, las dos mitades de Axioma I,2 todavía no tiene el mismo significado.
Por supuesto, si usted ignora la segunda mitad del Axioma I,2 y tomar el primer semestre como la intención de la singularidad declaración como he escrito arriba, a continuación, interpretaciones 1 y 2 serán equivalentes y no problemático.
