Recordar el (infinitamente) la continuación de la fracción definición de la proporción áurea \begin{align} \phi = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}} \end{align} Esto es equivalente a la expresión \begin{align} \phi = 1+\frac{1}{\phi} \end{align} Diciendo que el inverso de a $\phi$ es igual a $\phi-1$. Inspirado por este hecho, consideremos una matriz cuadrada $A$ la satisfacción de: \begin{align} A-I = A^{-1} \end{align} ¿Esta relación tiene alguna importancia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mohammad Riazi-Kermani
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116
$$\begin{align}A-I = A^{-1}\end{align}$$
$$\begin{align}A = I + A^{-1}\end{align}$$
$$\begin{align}A^2 = A + I\end{align}$$
$$\begin{align}A^3 = A^2 + A\end{align}=2A+I$$
$$\begin{align}A^4 = A^3 + A^2\end{align}=3A+2I$$
El patrón es ahora lo que sugiere, $$A^n = F_n A+F_{n-1}I$$ where $F_n$ es la de Fibonacci de la secuencia.
Robert Lewis
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20996
Creo que vale la pena señalar que podemos probar realmente Mohammad Riazi-Kermani del ecuación
$A^n = F_nA + F_{n - 1}I \tag 1$
por inducción, para (1) los rendimientos
$A^{n + 1} = AA^n = A( F_nA + F_{n - 1}I) =$ $F_nA^2 + F_{n - 1}A = F_n(I + A) + F_{n - 1}A = (F_n + F_{n - 1})A + F_nI = F_{n + 1}A + F_nI, \tag 2$
desde
$F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}. \tag 3$
Hmmm . . . curioso!
mr_e_man
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16
La ecuación de $\phi^2 = \phi+1$ tiene otra solución en la Perplejo Números. (Son como los Números Complejos, pero con $j^2={^+}1$ en lugar de ${^-}1$.)
$$\phi = \frac{1\pm j\sqrt5}{2}$$
Perplex los Números pueden ser modelados por $2\times2$ matrices:
$$a+bj \cong \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$$
Así que una matriz del tipo que estamos considerando (aparte de los obvios $\frac{1+\sqrt5}{2} I$) es
$$A = \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt5/2 \\ \sqrt5/2 & 1/2 \end{bmatrix}$$
