Matriz de satisfacciones $A-I = A^{-1}$

Question

Recordar el (infinitamente) la continuación de la fracción definición de la proporción áurea $$\begin{align} \phi = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}} \end{align}$$ Esto es equivalente a la expresión $$\begin{align} \phi = 1+\frac{1}{\phi} \end{align}$$ Diciendo que el inverso de a $\phi$ es igual a $\phi-1$. Inspirado por este hecho, consideremos una matriz cuadrada $A$ la satisfacción de: $$\begin{align} A-I = A^{-1} \end{align}$$ ¿Esta relación tiene alguna importancia?

Answer 1

$$\begin{align}A-I = A^{-1}\end{align}$$

$$\begin{align}A = I + A^{-1}\end{align}$$

$$\begin{align}A^2 = A + I\end{align}$$

$$\begin{align}A^3 = A^2 + A\end{align}=2A+I$$

$$\begin{align}A^4 = A^3 + A^2\end{align}=3A+2I$$

El patrón es ahora lo que sugiere, $$A^n = F_n A+F_{n-1}I$$ where $F_n$ es la de Fibonacci de la secuencia.

Answer 2

Creo que vale la pena señalar que podemos probar realmente Mohammad Riazi-Kermani del ecuación

$A^n = F_nA + F_{n - 1}I \tag 1$

por inducción, para (1) los rendimientos

$A^{n + 1} = AA^n = A( F_nA + F_{n - 1}I) =$ $F_nA^2 + F_{n - 1}A = F_n(I + A) + F_{n - 1}A = (F_n + F_{n - 1})A + F_nI = F_{n + 1}A + F_nI, \tag 2$

desde

$F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}. \tag 3$

Hmmm . . . curioso!

Answer 3

La ecuación de $\phi^2 = \phi+1$ tiene otra solución en la Perplejo Números. (Son como los Números Complejos, pero con $j^2={^+}1$ en lugar de ${^-}1$.)

$$\phi = \frac{1\pm j\sqrt5}{2}$$

Perplex los Números pueden ser modelados por $2\times2$ matrices:

$$a+bj \cong \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$$

Así que una matriz del tipo que estamos considerando (aparte de los obvios $\frac{1+\sqrt5}{2} I$) es

$$A = \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt5/2 \\ \sqrt5/2 & 1/2 \end{bmatrix}$$